3D 坐标变换 公式 推导

[ 更新 ]更好的方法见[用抽象代数讨论仿射变换和仿射空间中的坐标变换] ，以下是之前的内容。

以下的推导 结论是正确的，可是过程有点懵。

以下使用行向量：
e1=(1,0,0)
e2=(0,1,0)
e3=(0,0,1)
i, j, k是三个线性无关的向量。它们在e1,e2,e3坐标系下的坐标也记作i,j,k
i’, j’, k’是三个线性无关的向量，它们在e1,e2,e3坐标系下的坐标也记作i’, j’, k’

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denote⎡⎣⎢ijk⎤⎦⎥=A,⎡⎣⎢i′j′k′⎤⎦⎥=B

已知点P相对于Oijk的坐标是(x,y,z)
则点P相对于O’i’j’k’的坐标：

(x′,y′,z′)=((x,y,z)A+(O−O′))B−1

若B是正交矩阵。就不用求逆了，求转置就是。

特别地，
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,则

(x′,y′,z′)=((x,y,z)−O′))B−1

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推导

设点P相对于O’i’j’k’的坐标是(x’,y’,z’)

∵P=O+(x,y,z)A=O′+(x′,y′,z′)B

∴(x′,y′,z′)=((x,y,z)A+(O−O′))B−1

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补充

记 B=AM(M=A−1B)，即M是把i,j,k变换到i’,j’,k’的变换矩阵，

∴(x′,y′,z′)=((x,y,z)A+(O−O′))M−1A−1

特别地。
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,则

(x′,y′,z′)=((x,y,z)−O′))M−1andM=B

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应用

实际应用中，用到的一般都是O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3的特殊情况。
这是由于：问题在描写叙述O’i’j’k’坐标的时候一般都是相对于Oikj而言的；
这里没有绝对的坐标系，仿射空间中不论什么一个点都看以看成(0,0,…0)，随意一组基都能够看成{(1,0,…0), (0,1,…0), (0,0,…1)}。

(x,y,z,1)[M−1−O′M−101]=(x′,y′,z′,1)

[M−1−O′M−101]=[MO′01]−1

换个角度理解

点P不动。把坐标架O,i,j,k变换到O’,i’,j’,k’，则变换矩阵是(MO′01), M=B,
就相当于 坐标架不动，点P逆着上述变换，变换到新坐标。

变换的两种方式

①先原地变换坐标架，再平移坐标架

[B001][IO′01]=[BO′01]

②先平移坐标架。再相对平移之后的原点变换坐标架

[IO′01]X=[BO′01]X=[BO′−O′B01]

X能够看成先平移回原点，相对原点 原地变换 坐标架，再平移过去：

X=[B−O′B01][IO′01]

[B−O′B01]=[I−O′01][B001]

注意到 X 与 [B001] 是类似矩阵，正是同一(4维的)线性变换在不同基下的坐标表示。1

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1. http://blog.csdn.net/u010476094/article/details/50551014 ↩