求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。
SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。
简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。
我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。
spfa的算法思想（动态逼近法）：
设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。
下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：
和广搜bfs的区别：
SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
判断有无负环：
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）
算法的描述：
1 void spfa(s); //求单源点s到其它各顶点的最短距离
2 for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; } //初始化每点到s的距离，不在队列
3 dis[s]=0; //将dis[源点]设为0
4 vis[s]=true; //源点s入队列
5 head=0; tail=1; q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值
6 while head<tail do {
7 head+1; //队首出队
8 v=q[head]; //队首结点v
9 vis[v]=false; //释放对v的标记，可以重新入队
10 for 每条边(v,i) //对于与队首v相连的每一条边
11 if (dis[i]>dis[v]+a[v][i]) //如果不满足三角形性质
12 dis[i] = dis[v] + a[v][i] //松弛dis[i]
13 if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在队列，则加入队列
14 }
具体代码实现：
/*********************************************/
// d数组类似迪杰斯特拉的dis数组，记录起点到i点的局部最优解
// c数组用来记录访问 i 点的次数
// vis 记录是否在队列里面 ，与dijkstra中的s数据作用不同
// 用数组模拟邻接表存图，w数组为权值
/*********************************************/
bool spfa_bfs(int s) // s为图的起点
{
queue <int> q; // 队列里存点
memset(d,0x3f,sizeof(d));
memset(c,0,sizeof(c));
memset(vis,0,sizeof(vis));
q.push(s);
vis[s]=1;
c[s]=1;
d[s]=0;
//顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数
while(!q.empty())
{
int x;
x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0;
//队头元素出队，并且消除标记
for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表
{
int y=v[k];
if( d[x]+w[k] < d[y]) //如果可以松弛
{
d[y]=d[x]+w[k]; //松弛
if(!vis[y]) //顶点y不在队内 不要重复入队列
{
vis[y]=1; //标记
c[y]++; //统计次数
q.push(y); //入队
if(c[y]>NN) //超过入队次数上限，说明有负环
return false;
}
}
}
}
return true;
最短路径本身怎么输出？
在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？
我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。
如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了：
在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？
我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。
如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了：
1 c++ code: 2 void printpath(int k){ 3 if (path[k]!=0) printpath(path[k]); 4 cout << k << ' '; 5 } 6 7 pascal code: 8 procedure printpath(k:longint); 9 begin 10 if path[k]<>0 then printpath(path[k]); 11 write(k,' '); 12 end; 13 14 spfa算法模板(邻接矩阵)： 15 c++ code: 16 void spfa(int s){ 17 for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999; //初始化每点i到s的距离 18 dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s; 队列初始化,s为起点 19 int i, v, head=0, tail=1; 20 while (head<tail){ 队列非空 21 head++; 22 v=q[head]; 取队首元素 23 vis[v]=0; 释放队首结点，因为这节点可能下次用来松弛其它节点，重新入队 24 for(i=0; i<=n; i++) 对所有顶点 25 if (a[v][i]>0 && dis[i]>dis[v]+a[v][i]){ 26 dis[i] = dis[v]+a[v][i]; 修改最短路 27 if (vis[i]==0){ 如果扩展结点i不在队列中，入队 28 tail++; 29 q[tail]=i; 30 vis[i]=1; 31 } 32 } 33 34 } 35 } 36 37 pascal code: 38 procedure spfa(s:longint); 39 var i,j,v,head,tail:longint; 40 begin 41 for i:=0 to n do dis[i]:=99999999; 42 dis[s]:=0; vis[s]:=true; q[1]:=s; 43 head:=0;tail:= 1; 44 while head<tail do 45 begin 46 inc(head); 47 v:=q[head]; 48 vis[v]:=false; 49 for i:=0 to n do 50 if dis[i]>dis[v]+a[v,i] then 51 begin 52 dis[i]:= dis[v]+a[v,i]; 53 if not vis[i] then 54 begin 55 inc(tail); 56 q[tail]:=i; 57 vis[i]:=true; 58 end; 59 end; 60 61 end; 62 end;
spfa优化——深度优先搜索dfs
在上面的spfa标准算法中，每次更新（松弛）一个结点u时，如果该结点不在队列中，那么直接入队。
但是有负环时，上述算法的时间复杂度退化为O(nm)。能不能改进呢？
那我们试着使用深搜，核心思想为每次从更新一个结点u时，从该结点开始递归进行下一次迭代。
但是有负环时，上述算法的时间复杂度退化为O(nm)。能不能改进呢？
那我们试着使用深搜，核心思想为每次从更新一个结点u时，从该结点开始递归进行下一次迭代。
使用dfs优化spfa算法：
1 pascal code： 2 procedure spfa(s:longint); 3 var i:longint; 4 begin 5 for i:=1 to b[s,0] do //b[s,0]是从顶点s发出的边的条数 6 if dis[b[s,i]]>dis[s]+a[s,b[s,i]] then //b[s,i]是从s发出的第i条边的另一个顶点 7 begin 8 dis[b[s,i]]:=dis[s]+a[s,b[s,i]]; 9 spfa(b[s,i]); 10 end; 11 end; 12 13 C++ code： 14 void spfa(int s){ 15 for(int i=1; i<=b[s][0]; i++) //b[s,0]是从顶点s发出的边的条数 16 if (dis[b[s][i]>dis[s]+a[s][b[s][i]]){ //b[s,i]是从s发出的第i条边的另一个顶点 17 dis[b[s][i]=dis[s]+a[s][b[s][i]]; 18 spfa(b[s][i]); 19 } 20 }
相比队列，深度优先搜索有着先天优势：在环上走一圈，回到已遍历过的结点即有负环。绝大多数情况下的时间复杂度为O(m)级别。
那我们试着使用深搜，核心思想为每次从更新一个结点u时，从该结点开始递归进行下一次迭代。
对于WorldRings(ACM-ICPC Centrual European 2005)这道题，676个点，100000条边，查找负环dfs仅仅需219ms。
一个简洁的数据结构和算法在一定程度上解决了大问题。
那我们试着使用深搜，核心思想为每次从更新一个结点u时，从该结点开始递归进行下一次迭代。
对于WorldRings(ACM-ICPC Centrual European 2005)这道题，676个点，100000条边，查找负环dfs仅仅需219ms。
一个简洁的数据结构和算法在一定程度上解决了大问题。
判断存在负环的条件：重新经过某个在当前搜索栈中的结点。
spfa优化——前向星优化
星形（star）表示法的思想与邻接表表示法的思想有一定的相似之处。对每个结点，它也是记录从该结点出发的所有弧，但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表示。也就是说，在该数组中首先存放从结点1出发的所有弧，然后接着存放从节点2出发的所有孤，依此类推，最后存放从结点n出发的所有孤。对每条弧，要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号，只是从同一结点出发的弧的顺序可以任意排列。此外，为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧，我们一般还用一个数组记录每个结点出发的弧的起始地址（即弧的编号）。在这种表示法中，可以快速检索从每个结点出发的所有弧，这种星形表示法称为前向星形（forward star）表示法。
例如，在下图中，仍然假设弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的权分别为8，9，6，4，0，7，6和3。此时该网络图可以用前向星形表示法表示如下：
例如，在下图中，仍然假设弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的权分别为8，9，6，4，0，7，6和3。此时该网络图可以用前向星形表示法表示如下：
前向星存储图：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 int first[10005]; 4 struct edge{ 5 int point,next,len; 6 } e[10005]; 7 void add(int i, int u, int v, int w){ 8 e[i].point = v; 9 e[i].next = first[u]; 10 e[i].len = w; 11 first[u] = i; 12 } 13 int n,m; 14 int main(){ 15 int u,v,w; 16 cin >> n >> m; 17 for (int i = 1; i <= m; i++){ 18 cin >> u >> v >> w; 19 add(i,u,v,w); 20 } //这段是读入和加入 21 for (int i = 0; i <= n; i++){ 22 cout << "from " << i << endl; 23 for (int j = first[i]; j; j = e[j].next) //这就是遍历边了 24 cout << "to " << e[j].point << " length= " << e[j].len << endl; 25 } 26 }
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