矩阵【】

文章目录

• 初等矩阵
• 置换矩阵
• 对称矩阵
• 矩阵的运算
• 1 矩阵的基本运算
• 1.1 相等
• 1.2 加法
• 1.3 数乘矩阵
• 1.4 矩阵乘法
• 2 矩阵的运算规律
• 2.1 线性运算的运算规律
• 2.2 矩阵乘法的运算规律
• 2.3 转置矩阵的运算规律
• 2.4 矩阵的幂的运算规律
• 2.5 逆矩阵的运算规律

初等矩阵

置换矩阵

置换矩阵是用来完成行互换的矩阵，记作P。由单位矩阵E重新行排列得来，是初等矩阵的一种。
n阶E有n!个置换矩阵P。

PA=LU。
所有的P都可逆，且$p^{-1}=p^{T}$

对称矩阵

转置等于自身的矩阵为对称矩阵。如$A^{T}=A$，则A是对称矩阵。

恒有等式$(AA^{T})^{T}=AA^{T}$，故：$AA^{T}$是对称矩阵

矩阵的运算

1 矩阵的基本运算

1.1 相等

$A=BLeftrightarrow A,B$是同型矩阵，且对应元素相等
即：
$(a_{ij})_{m×n}=(b_{ij})_{s×k}Leftrightarrow m=s,n=k且a_{ij}=b_{ij}（i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）$

1.2 加法

• 两个矩阵是同型矩阵才可以相加
• 矩阵相加即对于元素相加
• 相加得到的矩阵C和A，B是同型矩阵

$C=A+B=(a_{ij})_{m×n}+(b_{ij})_{m×n}=(c_{ij})_{m×n}$
其中:
$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}（i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）$

1.3 数乘矩阵

k为一个数，A是一个mxn矩阵。
数乘矩阵，A的每个元素都乘以k

$kA=Ak=(ka_{ij})_{m×n}$

1.4 矩阵乘法

A是mxs矩阵，B是sxn矩阵，则A，B可乘，乘积AB是mxn矩阵

• （1）常规方法：左行×右列：
  $C=AB=(c_{ij})_{m×n}$
  其中：
  $c_{ij}=sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{is}b_{sj}（i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）$

假设$egin{bmatrix}2&7 \ 3&8 \ 4&9end{bmatrix}$为矩阵A，$egin{bmatrix}1&6 \ 0&0end{bmatrix}$为矩阵B

• （2）整列：左矩阵×右列
  $egin{bmatrix}2&7 \ 3&8 \ 4&9end{bmatrix} egin{bmatrix}1&6 \ 0&0 end{bmatrix}= egin{bmatrix}2&7 \ 3&8 \ 4&9end{bmatrix} egin{bmatrix}1&0 \ 0&0 end{bmatrix} +egin{bmatrix}2&7 \ 3&8 \ 4&9end{bmatrix} egin{bmatrix}0&6 \ 0&0 end{bmatrix}$
  即：$AB=AB_{1}+AB_{2}$
• （3）整行：左行×右矩阵
  $egin{bmatrix}2&7 \ 3&8 \ 4&9end{bmatrix} egin{bmatrix}1&6 \ 0&0 end{bmatrix}= egin{bmatrix}2&7 \ 0&0 \ 0&0end{bmatrix} egin{bmatrix}1&6 \ 0&0 end{bmatrix}+ egin{bmatrix}0&0 \ 3&8 \ 0&0end{bmatrix} egin{bmatrix}1&6 \ 0&0 end{bmatrix}+ egin{bmatrix}0&0 \ 0&0 \ 4&9end{bmatrix} egin{bmatrix}1&6 \ 0&0 end{bmatrix}$
  即：$AB=A_{1}B+A_{2}B+A_{3}B$
• （4）左列×右行
  $egin{bmatrix}2&7 \ 3&8 \ 4&9end{bmatrix} egin{bmatrix}1&6 \ 0&0 end{bmatrix}= egin{bmatrix}2 \ 3 \ 4end{bmatrix} egin{bmatrix}1&6 end{bmatrix}+ egin{bmatrix}7 \ 8 \ 9end{bmatrix} egin{bmatrix}0&0 end{bmatrix}$

2 矩阵的运算规律

2.1 线性运算的运算规律

加法运算和数乘运算统称为线性运算

• A+B=B+A
• (A+B)+C=A+(B+C)
• k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA
• k(lA)=(kl)A=l(kA)

2.2 矩阵乘法的运算规律

假设以下矩阵可乘

• (AB)C=A(BC)
• A(B+C)=AB+AC；(A+B)C=AC+BC
• (kA)B=A(kB)=k(AB)

2.3 转置矩阵的运算规律

• $(A^{T})^{T}=A$
• $(kA^{T})=k(A^{T})$
• $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
• $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

2.4 矩阵的幂的运算规律

假设A,B是同阶方阵，则：

• $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$
• $(A-B)^{2}=A^{2}-AB-BA+B^{2}$
• $(A+B)(A-B)=A^{2}+BA-AB-B^{2}$
• $(AB)^{m}=(AB)(AB)...(AB)=A(BA)(BA)...(BA)B eq A^{m}B^{m}$

分块对角矩阵的幂的条件是：A，B分别为m，n阶方阵

• $egin{bmatrix} A &O \ O& B end{bmatrix}^{n}=egin{bmatrix} A^{n} &O \ O& B^{n} end{bmatrix}$

2.5 逆矩阵的运算规律

设A,B是同阶可逆矩阵
A,B可逆$Rightarrow$AB可逆
A可逆$Rightarrow A^{T}$可逆

• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(kA)^{-1}=frac{1}{k}A^{-1}$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
• $egin{bmatrix} A &O \ O& B end{bmatrix}^{-1}=egin{bmatrix} A^{-1} &O \ O& B^{-1} end{bmatrix}$
• $egin{bmatrix} O &A \ B& O end{bmatrix}^{-1}=egin{bmatrix} O &B^{-1} \ A^{-1}& O end{bmatrix}$