使用matlab求解线性/非线性方程

使用matlab求解线性方程

Ax = B 形式   A ,B为矩阵

    (1) A为非奇异矩阵时，既有唯一解时

共有三种方法求解：

example
clear all
A = [3 -9; 2 4];
b = [-42; 2];
% three methods
x = inv(A)*b       % good
x = A            % better
x = linsolve(A,b)  % best

　https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/linsolve.html　

syms a b c d e f 
 M = [a b;c d];
 rhs = [e;f];
 z = inv(M)*rhs

>> z = inv(M)*rhs
 
z =
 
 (d*e)/(a*d - b*c) - (b*f)/(a*d - b*c)
 (a*f)/(a*d - b*c) - (c*e)/(a*d - b*c)
 
>> z = M^-1*rhs
 
z =
 
 (d*e)/(a*d - b*c) - (b*f)/(a*d - b*c)
 (a*f)/(a*d - b*c) - (c*e)/(a*d - b*c)
 
>> z = linsolve(M,rhs)
 
z =
 
 -(b*f - d*e)/(a*d - b*c)
  (a*f - c*e)/(a*d - b*c)


>> M = [3 -9;2 4]
>> rhs = [-42;2];

>> z = inv(M)*rhs

z =

   -5.0000
    3.0000

>> z = M^-1*rhs

z =

   -5.0000
    3.0000

>> z = linsolve(M,rhs)

z =

    -5
     3

　（2）A为奇异矩阵时，且A阵和[A,C]阵秩相同，则该方程有无数个解；

可以用 x = null(A); 先求出系统的齐次方程AX = 0的基础解系，然后再用 x0 = pinv(A)*B 求出方程的一个特解

然后得出系统的通解：X =a(1) * x(:,1) + a(2) * X(:,2) + ..... + a(n-m) * x(:,n-m) + x0;

A = [1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B = [1 3 2 6]';
C = [A,B];[rank(A) rank(B)];
syms a1 a2 ;
Z = null(sym(A));

>> x0 = sym(pinv(A))*B;
>> X = a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 %求出方程的解析解
 
X =
 
        2*a1 + 3*a2 + 125/131
 96/131 - (7*a2)/2 - (5*a1)/2
                  a1 - 10/131
                  a2 - 39/131
 
>> A*X-B
 
ans =
 
 0
 0
 0
 0
 

　　

 此外，可以采用rref(C),C = [A,B];进行基本行变换，得出方程的解析解；

>> c = [A,B];D =rref(c)

D =

   1.000000000000000                   0  -2.000000000000000  -3.000000000000000   2.000000000000000
                   0   1.000000000000000   2.500000000000000   3.500000000000000  -0.500000000000000
                   0                   0                   0                   0                   0
                   0                   0                   0                   0                   0

　　

    (3)若A和[A,B]矩阵的秩不同，则原方程就没有解，只能用x = pinv(A)*B求出方程的最小二乘解；

使用matlab求非线性方程

　Equations and systems solver - MATLAB solve (mathworks.com)

   Solve system of nonlinear equations - MATLAB fsolve (mathworks.com)

 求解代数方程的符号解。

      S = solve(eqn1,eqn2,...,eqnM,var1,var2,...,varN)

eqn 是符号表达式，可以是方程或不等式。vars是指定未知变量的符号变量表示。

 fsolve 用来解决多个变量的非线性方程组。

     X = fsolve(FUN,X0,OPTIONS)

syms x y
>> sol = solve([x^2+y^2-20,y - x^2,x>0,y>0],[x,y])
sol = 

  包含以下字段的 struct:

    x: [1×1 sym]
    y: [1×1 sym]

>> sol.x
 
ans =
 
2
 
>> sol.y
 
ans =
 
4

　　还可以使用matlab函数或者匿名函数来描述方程

function F=myFunction(z)
  x = z(1);
  y = z(2);

  F(1)=x^2+y^2-20;
  F(2)=y - x^2;
end

　　

clear all
z_G = [1; 1];
z = fsolve(@myFunction, z_G);
disp(z)

　匿名函数形式-----因为匿名函数标准形式为为针对自变量x,所以要都写成x变量的形式

>> f= @(x)[x(1).^2+x(2).^2-20;x(2) - x(1).^2];
>> X0 =[1;1];X= fsolve(f,X0)
X =

    2.0000
    4.0000

　还可以设置求解精度，options　

x = fsolve(fun,x0,options)

option =optimset;

option .TolX = 1e-20;  option .TolFun = 1e-20; 

x = fsolve(f,x0,option )