showproblem.php?pid=4335

Mean:

给你三个数b、P、M，让你求有多少个n满足下式。

analyse:

看到数据被吓到了，没半点思路，后来看了解题报告，方法竟然是暴力！

当然暴力是有条件的。

有这样一个公式：

A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C) （x>=Phi(C)）

这个公式的具体证明原来在aekdycoin的百度空间有，但是随着百度空间被转移(百度作死，流失了好多优质的文章==)，这篇文章的完整版也流失了。

我们就当这个公式是定理吧！

当n!<Phi(C)时，此时我们暴力解决就可。

当n!大于phi（P）的时候，就需要用上面的降幂公式了。

方法还是暴力，n!%phi(p)会出现0，这是必然的，至少n>=phi(p)为0，

那么(n+1)!%phi(p)也为0，这便出现了重复，转变为n^(phi(p))%p==b的问题了。

固定了指数，根据鸽巢原理，余数是循环的，那么只要找出p个的结果，之后通过循环节求解便可以了。

Trick:当P为1的时候，b为0，这时候答案是m+1,不过m可能为2^64-1，如果加1的话就会溢出，巨坑。

Time complexity: O(N)

Source code:

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-08-25-23.41
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef __int64(LL);
typedef unsigned __int64(ULL);
const double eps(1e-8);

LL get_eular(LL m)
{
      LL ret=1;
      for(LL i=2; i*i<=m; i++)
            if(m%i==0)
            {
                  ret*=i-1;
                  m/=i;
                  while(m%i==0)
                  {
                        m/=i;
                        ret*=i;
                  }
            }
      if(m>1) ret*=m-1;
      return ret;
}

long long Quickpow(long long a,long long b,long long m)
{
      long long ans=1;
      while(b)
      {
            if(b&1) { ans=(ans*a)%m,b--; }
            b/=2,a=a*a%m;
      }
      return ans;
}

LL b,p,m,ring[100010];
int main()
{
      int t,Cas=0;
      scanf("%d",&t);
      while(t--)
      {
            scanf("%I64u %I64u %I64u",&b,&p,&m);
            if(p==1)
            {
                  if(m==18446744073709551615ULL)
                        printf("18446744073709551616
");
                  else
                        printf("%I64u
",m+1);
                  continue;
            }
            LL i=0,phi=get_eular(p),fac=1,ans=0;
            for(i=0; i<=m&&fac<=phi; i++)
            {
                  if(Quickpow(i,fac,p)==b)
                        ans++;
                  fac*=i+1;
            }
            fac=fac%phi;
            for(; i<=m&&fac; i++)
            {
                  if(Quickpow(i,fac+phi,p)==b)
                        ans++;
                  fac=(fac*(i+1))%phi;
            }
            if(i<=m)
            {
                  LL cnt=0;
                  for(int j=0; j<p; j++)
                  {
                        ring[j]=Quickpow(i+j,phi,p);
                        if(ring[j]==b)
                              cnt++;
                  }
                  LL idx=(m-i+1)/p;
                  ans+=cnt*idx;
                  LL remain=(m-i+1)%p;
                  for(int j=0; j<remain; j++)
                        if(ring[j]==b)
                              ans++;
            }
            printf("Case #%d: %I64u
",++Cas,ans);
      }
      return 0;
}/