在上一篇文章中，我们基本上证明了三素数定理，只有维诺格拉多夫定理没有被验证，也就是下面的：
设 $ au = N (log N)^{-20}$，$x geq au$，实数 $alpha$ 由前一篇文章中的引理1.1给出其表达式 $alpha = frac{a}{q} + eta$，易知 $1 leq q leq au leq x$。我们有 egin{align*} S(x,alpha) = mathcal{O}left( x log^2 x left( sqrt{frac{q}{x} + frac{1}{q}} + frac{1}{H} ight) ight), end{align*} 其中 $H = e^{frac{1}{2} sqrt{log x}}$，$S(x,alpha) = sum_{p leq x} e^{2 pi i alpha p}$。
本篇将专门详细证明该结论，用到的是维氏的三角和方法，具体参考潘承洞和潘承彪的专著《哥德巴赫猜想》。在此之前，先陈述一引理：
引理1.1. 设 $alpha in mathbb{R}$，则 $alpha$ 可表示为 egin{align*}alpha = frac{h}{q} + frac{ heta}{q^2}, ~ (q,h)=1, ~ q geq 1, ~ | heta| leq 1。 ag{1} end{align*}
现在给出维诺格拉多夫定理：
定理1.2. 设 $x geq 2$，实数 $alpha$ 由 $(1)$ 式给出且 $1 leq q leq x$，我们有 egin{align*} S(x,alpha) = mathcal{O}left( x log^2 x left( sqrt{frac{q}{x} + frac{1}{q}} + frac{1}{H} ight) ight), end{align*} 其中 $H = e^{frac{1}{2}sqrt{log x}}$。
证明之前，先给出一个容易而有用的结论：设 $mu$ 是莫比乌斯函数，则当 $n>1$ 时有 $sum_{k | n} mu(k) = 0$。这是因为此时有 $n=p^{alpha_1}_1 dots p^{alpha_k}_k$，所以 egin{align*} sum_{k | n} mu(k) &= mu(1) + mu(p_1) + dots + mu(p_k) + mu(p_1p_2) + dots + mu(p_{k-1}p_{k}) + dots + mu(p_1 dots p_k) \ &= (1-1)^k =0。end{align*}为证明定理1.2我们需要下面几个引理：
引理1.2. 设 $U$ 是正整数，$eta$ 是实数，则有 $$left| sum^{U}_{u=1} e^{2 pi i eta u} ight| leq minleft{ U, frac{1}{2 left< eta ight>} ight}，$$ 其中 $left< eta ight>=min{ {eta }, 1- {eta } }$，${eta }=eta-[eta]$ 为 $eta$ 的小数部分。
引理1.2的证明：因为任意的 $eta in mathbb{R}$ 可以分解成 $eta = n + alpha$，其中 $n in mathbb{Z}$，$alpha in [0,1)$。故 $$left| sum^U_{u=1} e^{2 pi i eta u} ight| = left| sum^U_{u=1} e^{2 pi i alpha u} ight| leq U。$$ 而当 $0< alpha <1$ 时，有 $$sum^U_{u=1} e^{2pi i alpha u} = frac{e^{2pi i (U+1)alpha} - e^{2 pi i alpha}}{e^{2 pi i alpha} - 1}，$$ 所以 $$left| sum^U_{u=1} e^{2 pi i alpha u} ight| leq frac{2}{left| e^{2pi i alpha} - 1 ight|} = frac{1}{sin pi alpha} = frac{1}{sin pi left< alpha ight>}。$$ 记 $f(t)=sin pi t - pi t cos pi t$，由于当 $0 < t leq frac{1}{2}$ 时 $f'(t) > 0$，故有 $f(t) > 0$，以及 $$left( frac{sin pi t}{t} ight)' = frac{pi t cos pi t - sin pi t}{t^2} < 0，$$ 因此 $$2 leq frac{sin pi t}{t} < pi，~~ 0 < t leq frac{1}{2}。$$ 故得 $$left| sum^U_{u=1} e^{2 pi i alpha u} ight| leq frac{1}{sin pi left<alpha ight>} leq frac{1}{2 left<alpha ight>}。$$
注意：容易推得 $left< x ight> = left< -x ight>$。这是因为由 $x = left[ x ight] + { x }$，有 egin{align*} -x &= -left[ x ight] - { x } \ &= left[ -x ight] + { -x }, end{align*} 因此，${ x } + { -x } = -left[ x ight] -left[ -x ight]$，而且只能取 $0$ 和 $1$。当 $x in mathbb{Z}$ 时取 $0$，显然成立；当 $x otin mathbb{Z}$ 时，${ x } + { -x } = 1$，易知同样成立。
引理1.3. 设 $0< ho leq frac{1}{2}$，$x_0, x_1, dots, x_K$ 为一组实数，满足条件 $$left< x_k - x_{k^{'}} ight> geq ho, ~~ k eq k^{'}，$$ 以及 $left< x_0 ight> = min left{ left< x_0 ight>, dots, left< x_K ight> ight}$，则有 $$sum^K_{k=1} frac{1}{left< x_k ight>} = mathcal{O}left( ho^{-1} log (K+1) ight)。$$
引理1.3的证明：任意的 $x in mathbb{R}$，存在整数 $n in mathbb{Z}$，以及 $y in left[-frac{1}{2}, frac{1}{2} ight)$ 使得 $x$ 可唯一分解成 $x=n+y$。因为 ${ x } = { y }$，故 $left< x ight> = left< y ight>$。因此，不妨设 $|x_k| leq frac{1}{2}$，$0 leq k leq K$。当 $0 leq x_k leq frac{1}{2}$ 时，$left< x_k ight> = { x_k } = x_k$；当 $-frac{1}{2} leq x_k <0$ 时，$left< x_k ight> = min { 1+x_k,-x_k } = -x_k$。从而 $left< x_k ight> = |x_k|$，$0 leq k leq K$。由于 $left< x_k - x_{k'} ight> geq ho$，$k eq k'$，故 $x_k eq x_{k'}$。记 $y_0 = x_0$，则可把 $x_0, x_1, dots, x_K$ 重新排列成 $$-frac{1}{2} leq y_{-K_1} < y_{-K_1 +1} < dots < y_{-1} < y_0 < dots < y_{K_2} leq frac{1}{2}，$$ 并有 $K_1 + K_2 = K$，以及 $$|y_0| = underset{-K_1 leq k leq K_2}{min} { |y_k| }。$$ 因为 ${ y_0 -y_{-1} } geq left< y_0 -y_{-1} ight> geq ho$，有 $$|y_{-1}| geq |y_0| geq y_0 geq y_{-1} + ho。$$ 又因为 $|y_{-1}| geq |y_0|$ 以及 $y_{-1} < y_0$ 有 $y_{-1}<0$，从而 $-y_{-1} geq y_{-1} + ho$，此即 $y_{-1} leq -frac{ ho}{2}$。串成一列即是 $$-frac{1}{2} leq y_{-K_1} < y_{-K_1 +1} < dots < y_{-1} leq -frac{ ho}{2}。$$ 因 $left< y_{k+1} - y_k ight> geq ho$，$-K_1 leq k leq -1$，故 $y_{k+1} geq y_k + ho$，$-y_{k+1} leq -y_k - ho$，即 $$|y_k| geq |y_{k+1}| + ho geq |y_{k+2}| + 2 ho geq dots geq |y_{-1}| + (|k| -1) ho geq frac{ ho}{2} + (|k|-1) ho。$$ 另一面，因 $|y_0| leq |y_1|$，以及 $y_0 < y_1$，得 $y_1>0$。同理，由 $left< y_1 -y_0 ight> geq ho$，有 $y_1 geq y_0 + ho geq -y_1 + ho$ ( $|y_0| leq y_1$，$-y_1 leq -|y_0| leq y_0$ )，得 $y_1 geq frac{ ho}{2}$。因此有 $$frac{ ho}{2} leq y_1 < dots < y_{K_2} leq frac{1}{2}。$$ 同理又可推得当 $1leq k leq K_2$ 时，$$y_k geq y_{k-1} + ho geq dots y_1 + (k-1) ho geq frac{ ho}{2} + (k-1) ho。$$ 因而有 egin{align*}sum^{K}_{k=1} frac{1}{left< x_k ight>} &= sum^K_{k=1} frac{1}{|x_k|} = sum^{-1}_{k=-K_1} frac{1}{|y_k|} + sum^{K_2}_{k=1} frac{1}{y_k} \ &leq frac{1}{ ho} sum^{-1}_{k=-K_1} frac{1}{|k|-frac{1}{2}} + frac{1}{ ho} sum^{K_2}_{k=1} frac{1}{k-frac{1}{2}}。 end{align*}显然有 $$frac{4}{|k|+1} geq frac{1}{|k|-frac{1}{2}},$$ 因此 egin{align*} frac{1}{ ho} sum^{-1}_{k=-K_1} frac{1}{|k|-frac{1}{2}} + frac{1}{ ho} sum^{K_2}_{k=1} frac{1}{k-frac{1}{2}} &leq frac{1}{ ho} left( int^{K_1}_{0} frac{4}{x+1} dx + int^{K_2}_{0} frac{4}{x+1} dx ight) \ &= frac{4}{ ho} log(K_1 + 1)(K_2 + 1) \ &leq frac{8}{ ho} log(K+1) end{align*}此即 $$sum^{K}_{k=1} frac{1}{left< x_k ight>} = mathcal{O}left( frac{1}{ ho} log(K+1) ight)。$$
推论1.4. 在引理1.3的条件下，我们有 egin{align*} sum^K_{k=1} frac{1}{left< x_k ight>} = mathcal{O} left( ho^{-1} log ho^{-1} ight)。 end{align*}
推论1.4的证明：由引理1.3中的证明有 $1 geq |y_{-K_1}| + y_{K_2} geq ho + ( K - 2 ) ho = (K-1) ho$，即 $K-1 leq ho^{-1}$。又因 $ ho^{-1} geq 2$ 故有 $K+1 leq ho^{-1} + 2leq ( ho^{-1})^2$，此即 $log(K+1) leq 2 log ho^{-1}$，证毕。
引理1.5. 设实数 $alpha$ 由引理1.1给出。则对任意实数 $U>0$，整数 $K_0$，正整数 $K$ 及任意实数 $eta$ 有 $$sum^{K_0 + K}_{k=K_0 +1} min left{ U, frac{1}{left< alpha k + eta ight>} ight} = mathcal{O}left( left( frac{K}{q} +1 ight) left( U + q log q ight) ight)。$$
引理1.5的证明：不妨先对 $K=q$ 证明 $$sum^{K_0 + q}_{k=K_0 +1} min left{ U, frac{1}{left< alpha k + eta ight>} ight} = mathcal{O}left( U + q log q ight)。$$ 设 $k=K_0 + x$, 其中 $x=1, 2, dots, q$。有 $$alpha K_0 = frac{hK_0}{q} + frac{ heta K_0}{q^2} riangleq frac{b}{q} + frac{ heta^{'}}{q},$$ 其中，$b in mathbb{Z}$，$| heta^{'}|<1$。因此，$$alpha k + eta = alpha K_0 + alpha x + eta= frac{b}{q} + frac{ heta^{'}}{q} + frac{hx + [qeta]}{q} + frac{ heta^{''}(x)}{q^2},$$ 其中，$ heta^{''}(x) = heta x + { qeta }q$，$| heta^{''}(x)|<2q$。记 $d= hx + b + [qeta]$，则上式变成 $$alpha k + eta = frac{d}{q} + frac{ heta^{'}}{q} + frac{ heta^{''}(x)}{q^2}。$$ 由于 $(h,q)=1$，当 $x$ 从 $1$ 取到 $q$ 时，有 $d$ 过模 $q$ 的完全剩余系，我们取模 $q$ 的使得 $|d|$ 最小的完全剩余系，则 egin{align*} S riangleq sum^{K_0 + q}_{k=K_0 +1} min left{ U, frac{1}{left< alpha k + eta ight>} ight} = sum_{|d|leq frac{q}{2}} min left{ U, frac{1}{left< frac{d}{q} + frac{ heta^{'''}}{q} ight>} ight} ag{2}, end{align*} 其中 $ heta^{'''} = heta^{'} + frac{ heta^{''}(x)}{q}$，满足 $| heta^{'''}|<3$。则当 $3 leq |d| leq frac{q}{2}$ 时，我们来估计 $left< frac{d}{q} + frac{ heta^{'''}}{q} ight>$，不妨估计 $left< frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} ight>$。
当 $3 leq d leq frac{q}{2}$ 时（此时 $q geq 6$），有 $$0 leq frac{d-3}{q} < frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} < frac{1}{2} + frac{3}{q} leq 1,$$ 其中，$frac{d-3}{q} leq frac{1}{2} - frac{3}{q}$。
若 $ frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} leq frac{1}{2}$，显然有 $left< frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} ight>> frac{d-3}{q}$。
若 $frac{1}{2} < frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} < frac{1}{2} + frac{3}{q}$，则 $$frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} + frac{d-3}{q} < frac{d}{q} + frac{1}{2} leq 1,$$ 即有 $$left< frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} ight>= 1 -left( frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} ight) > frac{d-3}{q} 。$$ 因此总有 $$left< frac{d}{q} pm frac{ heta^{'''}}{q} ight> > frac{d-3}{q}。$$
当 $-frac{q}{2} leq d leq -3$ 时，用 $-d$ 代替 $d$，通过上面的结论有 $$left< frac{-d}{q} - frac{ heta^{'''}}{q} ight> > frac{-d-3}{q},$$ 注意到 $left< x ight> = left< -x ight>$，故有 $$left< frac{d}{q} + frac{ heta^{'''}}{q} ight> = left< frac{-d}{q} - frac{ heta^{'''}}{q} ight> > frac{-d-3}{q}。$$ 从而我们得到，当 $3 leq |d| leq frac{q}{2}$ 时，$$ left< frac{d}{q} + frac{ heta^{'''}}{q} ight> > frac{|d|-3}{q},$$ 于是由 $(2)$ 式有 egin{align*} S &leq 7U + sum_{4 leq |d| leq frac{q}{2}} frac{q}{|d|-3} \ &leq 7U + sum_{4 leq |d| leq frac{q}{2}} frac{2q}{|d|-2} \ &< 7U + 2 int^{frac{q}{2}}_{3} frac{2q}{x-2} dx \ &= 7U + 4q log left( frac{q}{2} - 2 ight) leq 7U + 4q log q。 end{align*} 对于 任意的 $K geq 1$，有 $left[ frac{K}{q} ight] + 1 leq frac{K}{q} + 1$，而且 $K> q$ 的部分，又可归结为 $1, 2, dots, q$ 的情形，这样总共重复了 $left[ frac{K}{q} ight] + 1$ 次。因此，我们有 $$sum^{K_0 + K}_{k=K_0 +1} min left{ U, frac{1}{left< alpha k + eta ight>} ight} = mathcal{O}left( left( frac{K}{q} +1 ight) left( U + q log q ight) ight)。$$
注意：引理1.5的证明并不像潘承洞、潘承彪的书中写的那样，这里我们并没有用到引理1.3。
引理1.6. 设实数 $alpha$ 由 $(1)$ 式给出，则有 $$sum_{1 leq k leq frac{q}{2}} frac{1}{left< alpha k ight>} = mathcal{O} left( q log q ight)。$$
引理1.6的证明：我们先来证明 $left< x-y ight> geq left< x ight> - left< y ight>$。不妨对 $0 leq x, y < 1$ 的 $x, y$ 来证明。设 $x > y$，则当 $0 < x - y leq frac{1}{2}$ 时，$left< x-y ight> = x - y$。故或者有 $$left< x-y ight> + left< y ight> = x - y + y = x geq left< x ight> ,$$ 或者有 $$left< x-y ight> + left< y ight> = x - y + 1 - y = 1 + x - 2y > 1 - x geq left< x ight> 。$$ 当 $frac{1}{2} < x - y < 1$ 时，$left< x-y ight> = 1 - x + y$。故或者有 $$left< x-y ight> + left< y ight> = 1 - x + y +y = 1 - x + 2y geq 1 - x geq left< x ight>,$$ 或者有 $$left< x-y ight> + left< y ight> = 1 - x +y + 1 - y = 2 - x > x geq left< x ight>。$$
回到原问题。当 $1 leq k leq frac{q}{2}$ 时，由 $(1)$ 式有 egin{align*} left< alpha k ight> &= left< frac{h}{q} k + frac{ heta}{q^2} k ight> \ &geq left< frac{h}{q} k ight> - left< frac{ heta}{q^2} k ight> \ &geq frac{1}{q} - frac{1}{2q} = frac{1}{2q}, end{align*} 其中，$left< frac{h}{q}k ight> = left< frac{b}{q} ight>$，$1 leq b < q$。无论是 $frac{b}{q}$ 还是 $1 - frac{b}{q}$，都有 $left< frac{h}{q} k ight> geq frac{1}{q}$。由此及引理1.5得 $$sum_{1 leq k leq frac{q}{2}} frac{1}{left< alpha k ight>} = sum_{1 leq k leq frac{q}{2}} min left{ 2q, frac{1}{left< alpha k ight>} ight} leq C q log q。$$
引理1.7. 设实数 $alpha$ 由 $(1)$ 给出，则对任意的正数 $U$ 及 $K geq 2$，有 $$sum_{1 leq k leq K} min left{ frac{U}{k}, frac{1}{left< alpha k ight>} ight} = mathcal{O} left( q log q + frac{U}{q} log K + K log q ight)。$$
引理1.7的证明：设正整数 $s_0$ 满足 $$left( s_0 - frac{1}{2} ight) q < K leq left( s_0 + frac{1}{2} ight) q,$$ 由此以及引理1.5，引理1.6以及 $frac{qs}{left( s - frac{1}{2} ight) q} leq 2$ 和 $frac{U}{k} leq frac{U}{left( s - frac{1}{2} ight) q} leq frac{qs}{left( s - frac{1}{2} ight) q} cdot frac{U}{qs} leq frac{2U}{qs}$ 可得 egin{align*} &sum_{1 leq k leq K} min left{ frac{U}{k}, frac{1}{left< alpha k ight>} ight} \ &leq sum_{1 leq k leq frac{q}{2}} + sum_{frac{q}{2} < k leq frac{3}{2}q} + cdots + sum_{left( s_0 - frac{1}{2} ight)q < k leq left( s_0 + frac{1}{2} ight)q } min left{ frac{U}{k}, frac{1}{left< alpha k ight>} ight} \ &leq Csum_{1 leq k leq frac{q}{2}} frac{1}{left< alpha k ight>} + C sum^{s_0}_{s=1} sum_{left( s -frac{1}{2} ight)q < k leq left( s + frac{1}{2} ight)q} min left{ frac{2U}{qs}, frac{1}{left< alpha k ight>} ight} \ &leq Cqlog q + C sum^{s_0}_{s=1} left( frac{2U}{qs} + qlog q ight) \ &leq Cqlog q + C sum^{s_0}_{s=1} left( frac{U}{qs} + qlog q ight) \ &leq Cleft( qlog q + frac{U}{q} log K + K log q ight). end{align*} 其中，最后一个不等式是由于如下：
(1) 因为 $s_0 geq 1$，则有 $frac{s_0 q}{2} geq frac{q}{2}$， 从而有 $$s_0 q < K + frac{q}{2} leq K + frac{s_0 q}{2},$$ 此即 $s_0 q < 2K$。
(2) $K geq 2$ 时，如下不等式成立：egin{align*} sum^{s_0}_{s=1} frac{1}{s} &leq 2 sum^{s_0}_{s=1} frac{1}{s+1} \ &< 2 int^{s_0}_{0} frac{1}{s+1} ds \ &= 2log (s_0 +1) leq 2log 2s_0 \ &< 2 log frac{4K}{q} leq 2 log 4K \ &< 8log K. end{align*}
引理1.8. 设实数 $alpha$ 由 $(1)$ 给出，$x geq 2$，$F_1$，$F_2$ 为任意二个给定的递增正整数序列，则对任意的正数 $U$，$U^{'}$，$1 leq U leq x$，$U < U^{'} leq 2U$，有 $$I_1 riangleq underset{u in F_1}{sum_{U leq u < U^{'}}} underset{v in F_2}{sum_{1 leq uv < x}} e^{2pi i alpha uv} = mathcal{O}left( x left( frac{1}{q} + frac{q}{x} log q + frac{1}{U} log q + frac{U}{x} ight)^{frac{1}{2}} ight)。$$
引理1.8的证明： 利用 Schwarz 不等式可得 egin{align*} |I_1|^2 &leq left( sum_{U leq u < U'} 1 ight) left( sum_{U leq u < U'} left| underset{v in F_2}{sum_{1 leq uv leq x}} e^{2pi i alpha uv} ight|^2 ight) \ &leq 2U sum_{U leq u < U'} underset{v_1 in F_2}{sum_{1 leq v_1 leq frac{x}{u}}} underset{v_2 in F_2}{sum_{1 leq v_2 leq frac{x}{u}}} e^{2 pi i alpha u(v_1 - v_2)} \ &= 2U underset{v_1 in F_2}{sum_{1 leq v_1 leq frac{x}{U}}} underset{v_2 in F_2}{sum_{1 leq v_2 leq frac{x}{U}}} sum_{U leq u < b} e^{2 pi i alpha u(v_1 - v_2)}, end{align*} 其中 $b = min left{ U', frac{x}{v_1}, frac{x}{v_2} ight}$。再由引理1.2，引理1.5即得 egin{align*} |I_1|^2 &leq 2U sum_{1 leq v_1 leq frac{x}{U}} sum_{1 leq v_2 leq frac{x}{U}} minleft{ U, frac{1}{left< alpha (v_1 - v_2) ight>} ight} \ &leq CUfrac{x}{U} left( frac{x}{Uq} +1 ight) (U + q log q), end{align*} 由此引理1.8证毕。
引理1.9. 设 $x geq 2$，$H = e^{frac{1}{2} sqrt{log x}}$，$P = prod_{p < H^2} p$，以及实数 $alpha$ 由 $(1)$ 式给出，且 $1 leq q leq x$，我们有 $$underset{(n,P)=1}{sum_{1 leq n leq x}} e^{2 pi i alpha n} = mathcal{O} left( x log x left( frac{q}{x} + frac{1}{q} + frac{1}{H} ight) ight)。$$
定理1.9的证明：
定理1.2的证明 。。。（未完待续）