Dijkstra最短路算法
--转自啊哈磊【坐在马桶上看算法】算法7：Dijkstra最短路算法
上节我们介绍了神奇的只有五行的Floyd最短路算法，它可以方便的求得任意两点的最短路径，这称为“多源最短路”。本周来来介绍指定一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。
与Floyd-Warshall算法一样这里仍然使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。
我们还需要用一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程，如下。
我们将此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。
既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号顶点最近是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。为什么呢？你想啊，目前离1号顶点最近的是2号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了。因为1号顶点到其它顶点的路程肯定没有1号到2号顶点短，对吧O(∩_∩)O~
既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2->3和2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短。也就是说现在来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。所以dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再通过2->3这条边，到达3号顶点的路程。
我们发现dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新为10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2->3这条边松弛成功。这便是Dijkstra算法的主要思想：通过“边”来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。
同理通过2->4（e[2][4]），可以将dis[4]的值从∞松弛为4（dis[4]初始为∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新为4）。
刚才我们对2号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后dis数组为：
接下来，继续在剩下的3、4、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点。通过上面更新过dis数组，当前离1号顶点最近是4号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对4号顶点的所有出边（4->3，4->5和4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：
继续在剩下的3、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择3号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对3号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：
继续在剩下的5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择5号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：
最后对6号顶点所有点出边进行松弛。因为这个例子中6号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。
最终dis数组如下，这便是1号顶点到其余各个顶点的最短路径。
OK，现在来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是1号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下：
- 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。
- 设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[s][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。
- 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。
- 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。
完整的Dijkstra算法代码如下：
/* Author:Mengmeng Time:2016-7-5 11:50:25 Description: Dijkstra最短路算法 */ #include <iostream> using namespace std; int main() { int e[10][10];//两点之间的距离数组，e[1][2]表示顶点1到顶点2之间的距离 int dis[10];//顶点1到其余顶点的最短路径数组 /*将所有的顶点分为两部分： 已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。 最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。 我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。 例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中， 如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。 */ int book[10]; int i, j, v;//for循环使用变量 int nearestPeak;//离1号顶点最近的顶点 int peak_num;//顶点个数 int initPath_num;//初始路径数量 int p1, p2;//顶点p1,p2 int D;//p1->p2的距离 int min_dist;//最短路径 // int e[10][10], dis[10], book[10], i, j, n, m, t1, t2, t3, u, v, min; int inf = 99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值 //读入peak_num和initPath_num cout << "读入顶点数peak_num="; cin >> peak_num; cout << endl; cout << "初始路径数initPath_num="; cin >> initPath_num; cout << endl; //初始化：本顶点到本顶点路程为0；本顶点到其它顶点为无限大 for (i = 1; i <= peak_num; i++) for (j = 1; j <= peak_num; j++) if (i == j) e[i][j] = 0; else e[i][j] = inf; //读入初始路径的路程；格式：顶点p1->p2的距离为D cout << "读入初始路径的路程，格式：p1 p2 D" << endl; for (int i = 1; i <= initPath_num; i++) { cin >> p1 >> p2 >> D; e[p1][p2] = D; } //初始化dis数组，这里是1号顶点到其余各个顶点的初始路程 for (i = 1; i <= peak_num; i++) dis[i] = e[1][i]; //book数组初始化 for (i = 1; i <= peak_num; i++) book[i] = 0; book[1] = 1; //输出原始的路程 cout << "原始的路程如下：" << endl; for (i = 1; i <= peak_num; i++) { cout << endl; for (j = 1; j <= peak_num; j++) { if (e[i][j] == inf) cout << "∞" << " "; else cout << e[i][j] << " "; } cout << endl; } //Dijkstra算法核心语句 //单一顶点到各个顶点的最短路径，共需要求顶点数-1次，即（peak_num-1） for (i = 1; i <= peak_num - 1; i++) { //找到离1号顶点最近的顶点 min_dist = inf; for (j = 1; j <= peak_num; j++) { //在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u，即dis[j]最短，加入到集合P中，所以if条件需满足两个条件 //1、该顶点在集合Q中，即（book[j]==0） //2、dis要足够小 if (book[j] == 0 && dis[j]<min_dist) { min_dist = dis[j];//每次dis[j]都与min_dist比较，当小于min_dist时，min_dist重新赋值，保证min_dist存储的是当前未知路径最短的路径值 nearestPeak = j;//存储当前未知路径最小的路径值对应的顶点 } } book[nearestPeak] = 1;//然后将当前未知路径最小的路径值对应的顶点从集合Q加入到集合P中 /*找到当前离1号顶点最近的顶点后，开始比较直接由顶点1->未知的其余顶点v的值是否比 先经由顶点1->nearestPeak，再由顶点nearestPeak->v，若后者更小，则表示顶点1->当前for循环到的顶点v通过nearestPeak->v这条路径松弛成功 */ for (v = 1; v <= peak_num; v++) { if (e[nearestPeak][v]<inf) { if (dis[v]>dis[nearestPeak] + e[nearestPeak][v]) dis[v] = dis[nearestPeak] + e[nearestPeak][v]; } } } //输出最终的结果 cout << "Dijkstra算法求得的1号顶点到其它顶点的最短路程：" << endl; for (i = 1; i <= peak_num; i++) cout<<dis[i]<<" "; cout << endl; return 0; }
可以输入以下数据进行验证。第一行两个整数peak_num，initPath_num。peak_num表示顶点个数（顶点编号为1~peak_num），initPath_num表示边的条数。接下来initPath_num行表示，每行有3个数p1 p2 D。表示顶点p1到顶点p2边的权值为D。
6 9 //6表示顶点数，9表示初始路径数 1 2 1 //顶点p1->p2的距离D 1 3 12 2 3 9 2 4 3 3 5 5 4 3 4 4 5 13 4 6 15 5 6 4
运行结果：
通过上面的代码我们可以看出，这个算法的时间复杂度是O(N*2*N)即O(N2)。其中每次找到离1号顶点最近的顶点的时间复杂度是O(N)，这里我们可以用“堆”（以后再说）来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到O(logN)。另外对于边数M少于N2的稀疏图来说（我们把M远小于N2的图称为稀疏图，而M相对较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表（这是个神马东西？不要着急，下周再仔细讲解）来代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到O(MlogN)。请注意！在最坏的情况下M就是N2，这样的话MlogN要比N2还要大。但是大多数情况下并不会有那么多边，因此MlogN要比N2小很多。