Leetcode练习之二分查找

正常实现

Input : [1,2,3,4,5]
key : 3
return the index : 2

public int binarySearch(int[] nums, int key) {
    int l = 0, h = nums.length - 1;
    while (l <= h) {
        int m = l + (h - l) / 2;
        if (nums[m] == key) {
            return m;
        } else if (nums[m] > key) {
            h = m - 1;
        } else {
            l = m + 1;
        }
    }
    return -1;
}

时间复杂度

二分查找也称为折半查找，每次都能将查找区间减半，这种折半特性的算法时间复杂度为 O(logN)。

m 计算

有两种计算中值 m 的方式：

m = (l + h) / 2
m = l + (h - l) / 2

l + h 可能出现加法溢出，也就是说加法的结果大于整型能够表示的范围。但是 l 和 h 都为正数，因此 h - l 不会出现加法溢出问题。所以，最好使用第二种计算法方法。

未成功查找的返回值

循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值：

-1：以一个错误码表示没有查找到 key
l：将 key 插入到 nums 中的正确位置

变种

二分查找可以有很多变种，实现变种要注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下：

public int binarySearch(int[] nums, int key) {
    int l = 0, h = nums.length - 1;
    while (l < h) {
        int m = l + (h - l) / 2;
        if (nums[m] >= key) {
            h = m;
        } else {
            l = m + 1;
        }
    }
    return l;
}

该实现和正常实现有以下不同：

h 的赋值表达式为 h = m
循环条件为 l < h
最后返回 l 而不是 -1

在 nums[m] >= key 的情况下，可以推导出最左 key 位于 [l, m] 区间中，这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m，因为 m 位置也可能是解。

在 h 的赋值表达式为 h = m 的情况下，如果循环条件为 l <= h，那么会出现循环无法退出的情况，因此循环条件只能是 l < h。以下演示了循环条件为 l <= h 时循环无法退出的情况：

nums = {0, 1, 2}, key = 1
l   m   h
0   1   2  nums[m] >= key
0   0   1  nums[m] < key
1   1   1  nums[m] >= key
1   1   1  nums[m] >= key
...

当循环体退出时，不表示没有查找到 key，因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到，需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。

1. 求开方

69. Sqrt(x) (Easy)

public int mySqrt(int x) {
    if (x <= 1) {
        return x;
    }
    int l = 1, h = x;
    while (l <= h) {
        int mid = l + (h - l) / 2;
        int sqrt = x / mid;
        if (sqrt == mid) {
            return mid;
        } else if (mid > sqrt) {
            h = mid - 1;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return h;
}

2. 大于给定元素的最小元素

744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)

class Solution {
    public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
        int n = letters.length;
        int l = 0;
        int h = n - 1;
        while(l <= h) {
            int m = l + (h - l)/2;
            if (letters[m] <= target){
                l = m + 1;
            }else {
                h = m - 1;
            }
        }
        return l < n ? letters[l] : letters[0];
    }
}

3. 有序数组的 Single Element

540. Single Element in a Sorted Array (Medium)

class Solution {
    public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
        int l = 0;
        int h = nums.length - 1;
        while(l < h){
            int m = l + (h - l) / 2;
            if(m % 2 == 1) {
                m--;
            }
            if(nums[m] == nums[m + 1]){
                l = m + 2;
            } else {
                h = m;
            }
        }
        return nums[l];
    }
}