poj 3744 概率dp+矩阵快速幂

题意：在一条布满地雷的路上，你现在的起点在1处。在N个点处布有地雷，1<=N<=10。地雷点的坐标范围：[1,100000000].

每次前进p的概率前进一步，1-p的概率前进1-p步。问顺利通过这条路的概率。就是不要走到有地雷的地方。

链接：点我

设dp[i]表示到达i点的概率，则初始值 dp[1]=1.

很容易想到转移方程： dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2];

但是由于坐标的范围很大，直接这样求是不行的，而且当中的某些点还存在地雷。

N个有地雷的点的坐标为 x[1],x[2],x[3]```````x[N].

我们把道路分成N段：

1~x[1];

x[1]+1~x[2];

x[2]+1~x[3];

x[N-1]+1~x[N].

转移矩阵：
dp[i] | p ,1-p | dp[i-1]
=| |*
dp[i-1] | 1 , 0 | dp[i-2]

这样每一段只有一个地雷。我们只要求得通过每一段的概率。乘法原理相乘就是答案。

对于每一段，通过该段的概率等于1-踩到该段终点的地雷的概率。

就比如第一段 1~x[1]. 通过该段其实就相当于是到达x[1]+1点。那么p[x[1]+1]=1-p[x[1]].

但是这个前提是p[1]=1,即起点的概率等于1.对于后面的段我们也是一样的假设，这样就乘起来就是答案了。

对于每一段的概率的求法可以通过矩阵乘法快速求出来。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 #include<map>
 8 using namespace std;
 9 #define MOD 1000000007
10 const int INF=0x3f3f3f3f;
11 const double eps=1e-5;
12 typedef long long ll;
13 #define cl(a) memset(a,0,sizeof(a))
14 #define ts printf("*****
");
15 const int MAXN=1005;
16 int n,m,tt,x[MAXN],dp[MAXN];
17 struct Matrix
18 {
19     double mat[2][2];
20 };
21 Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
22 {
23     Matrix ret;
24     for(int i=0;i<2;i++)
25       for(int j=0;j<2;j++)
26       {
27           ret.mat[i][j]=0;
28           for(int k=0;k<2;k++)
29             ret.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
30       }
31     return ret;
32 }
33 Matrix pow_M(Matrix a,int n)
34 {
35     Matrix ret;
36     memset(ret.mat,0,sizeof(ret.mat));
37     for(int i=0;i<2;i++)ret.mat[i][i]=1;
38     Matrix temp=a;
39     while(n)
40     {
41         if(n&1)ret=mul(ret,temp);
42         temp=mul(temp,temp);
43         n>>=1;
44     }
45     return ret;
46 }
47 int main()
48 {
49     int i,j,k;
50     #ifndef ONLINE_JUDGE
51     freopen("1.in","r",stdin);
52     #endif
53     double p;
54     while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF)
55     {
56         double ans=1;
57         for(i=0;i<n;i++)    scanf("%d",x+i);
58         sort(x,x+n);
59         Matrix a,b;
60         a.mat[0][0]=p;
61         a.mat[0][1]=1-p;
62         a.mat[1][0]=1;
63         a.mat[1][1]=0;
64         b=pow_M(a,x[0]-1);
65         ans*=(1-b.mat[0][0]);
66         for(i=1;i<n;i++)
67         {
68             if(x[i]==x[i-1])    continue;
69             b=pow_M(a,x[i]-x[i-1]-1);
70             ans*=(1-b.mat[0][0]);
71         }
72         printf("%.7f
",ans);
73     }
74 }