高等数学-极限

极限

数列的极限

定义

设 ({x_n}) 是一个给定的数列，(a) 是一个实常数，如果对于任意给定的 (varepsilon>0)，可以找到正整数 (N)，当 (n>N) 时，成立

[|x_n-a|<varepsilon ]

就称数列 ({x_n}) 收敛于 (a)（或 (a) 是数列的极限），记为

[lim_{n oinfty}x_n=a ]

如果不存在实数 (a) 使 ({x_n}) 收敛于 (a)，则称数列 ({x_n}) 发散

性质

一、收敛数列的极限必定唯一

二、数列的有界性

若 (limlimits_{n oinfty}x_n=a)，那么存在实数 (m,M) 满足对于任意 (n) 都有 (mle x_nle M)

三、数列的保序性

若 (limlimits_{n oinfty}x_n=a)，(limlimits_{n oinfty}y_n=b) 且 (a<b)，那么存在正整数 (N)，当 (n<N) 时，成立 (x_n<y_n)

四、极限的夹逼性

三个数列 ({x_n})，({y_n})，({z_n}) 从某项开始成立

[x_nle y_nle z_n, nge N_0 ]

且 (limlimits_{n oinfty}x_n=limlimits_{n oinfty}z_n=a)，则 (limlimits_{n oinfty}y_n=a)

运算

设 (limlimits_{n oinfty}x_n=a)， (limlimits_{n oinfty}y_=a)，则有

[egin{align*} &lim_{n oinfty}(alpha x_n+eta y_n)=alpha a+eta bquad(alpha,eta ext{是常数})\ &lim_{n oinfty}(x_ny_n)=ab\ &lim_{n oinfty}(frac{x_n}{y_n})=frac ab(b e 0) end{align*} ]

常用极限

（1）若 (a>1) 则 (limlimits_{n oinfty}sqrt[n]{a}=limlimits_{n oinfty}a^{frac 1n}=1)

（2）(limlimits_{n oinfty}sqrt[n]{n}=limlimits_{n oinfty}n^{frac 1n}=1)

无穷大（小）量

在收敛的数列中，我们称极限为 (0) 的数列为无穷小量

对于任意的给定的 (G>0)，存在 (N)，当 (n>N) 时成立 (|x_n|>G)，则称数列 ({x_n}) 是无穷大量，记为

[lim_{n oinfty}x_n=infty ]

若无穷大量 ({x_n}) 从某一项开始都是正的（或负的），则称其为正无穷大量（或负无穷大量），分别记为

[lim_{n oinfty}x_n=+infty\ lim_{n oinfty}x_n=-infty ]

Stolz 定理

设数列 ({a_n},{b_n}) 满足 ({b_n}) 是严格单调递增的无穷大量且

[lim_{n oinfty}frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=L ]

(L) 可以是有限量，(+infty) 或 (-infty)，那么就有

[lim_{n oinfty}frac{x_n}{y_n}=L ]

收敛准则

定理：单调有界数列必定收敛

证明数列收敛只要证明数列有界并且单调即可

练习

Stolz定理

设 (limlimits_{n oinfty}a_n=a)，求极限

[lim_{n oinfty}frac{a_1+2a_2+dots+na_n}{n^2} ]

解：

令数列 (x_n=sumlimits_{i-1}^{n}ia_i, y_n=n^2)

[egin{align*} &lim_{n oinfty}frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\ =&lim_{n oinfty}frac{na_n}{n^2-(n-1)^2}\ =&lim_{n oinfty}frac{na_n}{2n-1}\ =&lim_{n oinfty}frac{a_n}{2-frac 1n}\ =&frac a2 end{align*} ]

根据Stolz定理，有

[egin{align*} &lim_{n oinfty}frac{a_1+2a_2+dots+na_n}{n^2}\ =&lim_{n oinfty}frac{x_n}{y_n}\ =&lim_{n oinfty}frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\ =&frac a2 end{align*} ]

夹逼法

用夹逼法计算极限：

[limlimits_{n oinfty}sumlimits_{n=n^2}^{(n+1)^2}frac{1}{sqrt{k}} ]

解：

一共有 ((n+1)^2-n^2+1=2n+2) 个数被求和，那么有

[egin{align*} &lim_{n oinfty}frac{2n+2}{n+1}le limlimits_{n oinfty}sumlimits_{n=n^2}^{(n+1)^2}frac{1}{sqrt{k}}le lim_{n oinfty}frac{2n+2}{n}\ ecause&lim_{n oinfty}frac{2n+2}{n+1}=2, lim_{n oinfty}frac{2n+2}{n}=2\ herefore& 2lelimlimits_{n oinfty}sumlimits_{n=n^2}^{(n+1)^2}frac{1}{sqrt{k}}le 2\ herefore&limlimits_{n oinfty}sumlimits_{n=n^2}^{(n+1)^2}frac{1}{sqrt{k}}=2 end{align*} ]

函数的极限

定义

设函数 (y=f(x)) 在 ((x_0- ho,x_0)cup(x_0,x_0+ ho), ho>0) 上有定义

如果存在实数 (A)，对于任意 (varepsilon>0)，可以找到 (delta>0)，使得当 (0<|x-x_0|<delta) 时，成立 (|f(x)-A|<varepsilon)

则称 (A) 是函数 (y=f(x)) 在 (x_0) 处的极限，记为

[lim_{x o x_0}f(x)=A ]

性质

一、极限唯一性

设 (A,B) 都是函数 (y=f(x)) 在 (x_0) 的极限，则 (A=B)

二、局部保序性

若 (limlimits_{x o x_0}f(x)=A, limlimits_{x o x_0}g(x)=B) 且 (A>B)，则存在 (delta>0)，当 (0<|x-x_0|<delta) 时成立 (f(x)<g(x))

三、夹逼性

若存在 (delta>0)，当 (0<|x-x_0|<delta) 时，成立

[g(x)le f(x)le h(x) ]

且 (limlimits_{x o x_0}g(x)=limlimits_{x o x_0}h(x)=A)，则 (limlimits_{x o x_0}f(x)=A)

运算

设 (limlimits_{x o x_0}f(x)=A, limlimits_{x o x_0}g(x)=B)，则

[egin{align*} &limlimits_{x o x_0}(alpha f(x)+eta g(x))=alpha A+eta Bquad(alpha,eta是常数)\ &limlimits_{x o x_0}(f(x)g(x))=AB\ &limlimits_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac AB(B e 0) end{align*} ]

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