密度聚类算法

（2017-08-29 银河统计）

密度聚类算法，DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise，具有噪声的基于密度的聚类方法)是一种很典型的密度聚类算法，和K-Means只适用于凸样本集的聚类方法相比，DBSCAN既可以适用于凸样本集，也可以适用于非凸样本集。下面我们就对DBSCAN算法的原理做一个总结。

DBSCAN是一种基于密度的聚类算法，这类密度聚类算法一般假定类别可以通过样本分布的紧密程度决定。同一类别的样本，他们之间的紧密相连的，也就是说，在该类别任意样本周围不远处一定有同类别的样本存在。通过将紧密相连的样本划为一类，这样就得到了一个聚类类别。通过将所有各组紧密相连的样本划为各个不同的类别，则我们就得到了最终的所有聚类类别结果。DBSCAN算法在大规模数据库上更好的效率。DBSCAN能够将足够高密度的区域划分成簇，并能在具有噪声的空间数据库中发现任意形状的簇。

一、DBSCAN算法基本术语##

DBSCAN是基于一组邻域来描述样本集的紧密程度的，参数(ϵ, MinPts)用来描述邻域的样本分布紧密程度。其中，ϵ描述了某一样本的邻域距离阈值，MinPts描述了某一样本的距离为ϵ的邻域中样本个数的阈值。

1、ϵ-邻域：对于$x_j∈D$，其ϵ-邻域包含样本集$D$中与$x_j$的距离不大于ϵ的子样本集，即$Nϵ(x_j)={x_i∈D|distance(x_i,x_j)≤ϵ}$, 这个子样本集的个数记为$|Nϵ(x_j)|$。
2、核心对象：对于任一样本$x_j∈D$，如果其ϵ-邻域对应的$Nϵ(_xj)$至少包含$MinPts$个样本，即如果$|Nϵ(x_j)|≥MinPts$，则$x_j$是核心对象。
3、密度直达：如果$x_i$位于$x_j$的ϵ-邻域中，且$x_j$是核心对象，则称$x_i$由$x_j$密度直达。注意反之不一定成立，即此时不能说$x_j$由$x_i$密度直达, 除非且$x_i$也是核心对象。
4、密度可达：对于$x_i$和$x_j$,如果存在样本样本序列$p_1,p_2,...,p_T$,满足$p_1=x_i,p_T=x_j$, 且$p_t+1$由$p_t$密度直达，则称$x_j$由$x_i$密度可达。也就是说，密度可达满足传递性。此时序列中的传递样本$p_1,p_2,...,p_{T−1}$均为核心对象，因为只有核心对象才能使其他样本密度直达。注意密度可达也不满足对称性，这个可以由密度直达的不对称性得出。
5、密度相连：对于$x_i$和$x_j$,如果存在核心对象样本$x_k$，使$x_i$和$x_j$均由$x_k$密度可达，则称$x_i$和$x_j$密度相连。注意密度相连关系是满足对称性的。

从下图可以很容易看出理解上述定义，图中MinPts=5，红色的点都是核心对象，因为其ϵ-邻域至少有5个样本。黑色的样本是非核心对象。所有核心对象密度直达的样本在以红色核心对象为中心的超球体内，如果不在超球体内，则不能密度直达。图中用绿色箭头连起来的核心对象组成了密度可达的样本序列。在这些密度可达的样本序列的ϵ-邻域内所有的样本相互都是密度相连的。

二、DBSCAN算法定义、思路和流程##

1、算法定义

DBSCAN是基于一组邻域来描述样本集的紧密程度的，参数(ϵ, MinPts)用来描述邻域的样本分布紧密程度。其中，ϵ描述了某一样本的邻域距离阈值，MinPts描述了某一样本的距离为ϵ的邻域中样本个数的阈值。

假设我的样本集是(D=(p_1,p_2,...,p_m)),则DBSCAN具体的密度描述定义如下：

I. 对于空间中的一个对象，如果它在给定半径ϵ-邻域中的对象个数大于密度阀值MinPts，则该对象被称为核心对象，否则称为边界对象。
II. 如果p是一个核心对象，q属于p的邻域，那么称p直接密度可达q。
III. 如果存在一条链…..,$p_i$>，满足$p_{_1}=p，p_i=q，p_i$直接密度可达$p_i+1$，则称p密度可达q。
IV. 如果存在o，o密度可达q和p，则称p和q是密度连通的。
V. 由一个核心对象和其密度可达的所有对象构成一个聚类。

2、算法思路

从数据集D中的任意一个点P开始，查找D 中所有关于ϵ-邻域(最小半径)和MinPts(密度阈值)的从P密度可达的点。若P是核心点，则其邻域内的所有点和P同属于一个簇，这些点将作为下一轮的考察对象(即种子点)，并通过不断查找从种子点密度可达的点来扩展它们所在的簇，直至找到一个完整的簇；若P不是核心点，即没有对象从P密度可达，则P被暂时地标注为噪声。然后，算法对D 中的下一个对象重复上述过程⋯⋯ 。当所有种子点都被考察过，一个簇就扩展完成了。此时，若D中还有未处理的点，算法则进行另一个簇的扩展；否则，D 中不属于任何簇的点即为噪声。

3、算法流程

I. 数据输入：D - 数据集合，ϵ - 半径，MinPts - 给定点在ϵ-邻域半径内称为核心对象的最小领域点数； II. 判断输入点是否为核心对象、找出核心对象ϵ-邻域中所有密度直接可达点； III. 针对所有核心对象ϵ-邻域中的所有密度直接达点找到最大密度相连对象集合（簇），按密度直接达和密度可达顺序合并一些可达对象。

三、DBSCAN算法案例##

数据样本如下表（数据表I）：

序号属性1属性2
121
251
312
422
532
642
752
862
913
1023
1153
1224

样本散点图如下：

令ϵ = 1，MinPts = 4，试用密度聚类算法对样本进行分类。

样本间欧几里得距离矩阵表如下（数据表II）：

i/j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0 3 1.41 1 1.41 2.24 3.16 4.12 2.24 2 3.61 3
2 3 0 4.12 3.16 2.24 1.41 1 1.41 4.47 3.61 2 4.24
3 1.41 4.12 0 1 2 3 4 5 1 1.41 4.12 2.24
4 1 3.16 1 0 1 2 3 4 1.41 1 3.16 2
5 1.41 2.24 2 1 0 1 2 3 2.24 1.41 2.24 2.24
6 2.24 1.41 3 2 1 0 1 2 3.16 2.24 1.41 2.83
7 3.16 1 4 3 2 1 0 1 4.12 3.16 1 3.61
8 4.12 1.41 5 4 3 2 1 0 5.1 4.12 1.41 4.47
9 2.24 4.47 1 1.41 2.24 3.16 4.12 5.1 0 1 4 1.41
10 2 3.61 1.41 1 1.41 2.24 3.16 4.12 1 0 3 1
11 3.61 2 4.12 3.16 2.24 1.41 1 1.41 4 3 0 3.16
12 3 4.24 2.24 2 2.24 2.83 3.61 4.47 1.41 1 3.16 0
MinPts 1 1 2 4 2 2 4 1 2 3 1 1

密度聚类分析：

I、 核心对象为样本4和样本7；
II、 样本4密度直达样本为样本1、3、4、5、10；
III、样本7密度直达样本为样本2、6、7、8、11；
IV、样本4的密度直达样本3和样本9密度直达、样本6和样本5密度直达、样本10和样本12密度直达，所有样本4和样本9、6、12密度可达。这样，样本1、3、4、5、9、10、12聚类为一簇（有样本4本身、4个直接可达、2个间接可达样本构成）。样本6和另一个核心对象样本7密度直达，应归为另一个簇；
V、样本7的密度直达样本6和样本5密度直达，样本7和样本5密度可达。但由于样本5和核心对象样本4密度直达，所以样本5属于以样本4为核心对象的簇。

综合上述分析，样本聚类为两个簇{1、3、4、5、9、10、12}和{2、6、7、8、11}。

四、DBSCAN算法API接口##

应用程序接口（API：application programming interface）是一组定义、程序及协议的集合，通过 API 接口实现计算机软件之间的相互通信。API 的一个主要功能是提供通用功能集。程序员通过使用 API 函数开发应用程序，从而可以避免编写无用程序，以减轻编程任务。

基于互联网的应用正变得越来越普及，在这个过程中，有更多的站点将自身的资源开放给开发者来调用。对外提供的API 调用使得站点之间的内容关联性更强。开放是目前的发展趋势，越来越多的产品走向开放。目前的网站不能靠限制用户离开来留住用户，开放的架构反而更增加了用户的粘性。在Web 2.0的浪潮到来之前，开放的API 甚至源代码主要体现在桌面应用上，而现在越来越多的Web应用面向开发者开放了API。

通过开放的API 来让站点提供的服务拥有更大的用户群和服务访问数量。站点在推出基于开放API 标准的产品和服务后，无需花费力气做大量的市场推广，只要提供的服务或应用出色易用，其他站点就会主动将开放API 提供的服务整合到自己的应用之中。同时，这种整合API 带来的服务应用，也会激发更多富有创意的应用产生。开放API 的站点为第三方的开发者提供良好的社区支持也是很有意义的，这有助于吸引更多的技术人员参与到开放的开发平台中，并开发出更为有趣的第三方应用。

银河统计工作室陆续推出数据挖掘、统计随机数及临界值、房地产数据等API接口服务，下面详细介绍DBSCAN算法API接口用法。

1、DBSCAN算法API接口样例及参数解释

I、接口样例

URL：http://api.galaxystatistics.com:8882/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=13&var_name=dbscanMethod&data_str=2,1|5,1|1,2|2,2|3,2|4,2|5,2|6,2|1,3|2,3|5,3|2,4&oEps=1&oMinPts=4

注：在浏览器中运行接口样例字符，可返回上传样本密度聚类结果

II、接口参数说明

API接口域名网址:

    http://api.galaxystatistics.com

端口号:

    8882        # 不同的接口，会使用不同的端口号

公共测试用Key：

    token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6

数据类型:

    type=13     # 不同聚类方法的api接口，采用不同的type值【如：11、12、13】

输出变量名:

    var_name=hclustMethod       # 根据程序需求，自定义变量名称【如：hclustMethod、kmeansMethod、dbscanMethod】

模型方法参数：


data_str                    # 数据字符串

oEps                        # 邻域半径[eps]

oMinPts                     # 判断核心点阈值[MinPts]

2、DBSCAN算法API回传数据样例及参数解释

I、回传数据样例（JSON）

var dbscanMethod={"No":[1,3,4,5,9,10,12,2,6,7,8,11],"SType":[1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2],"X1":[2,1,2,3,1,2,2,5,4,5,6,5],"X2":[1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3]}

II、回传数据参数说明

回传数据变量名称:

    dbscanMethod  #由接口参数var_name指定

样本序号:

    No        # 按聚类类别排序

聚类类别：

    SType  #为数组对象

数据列1:

    X1     # 样本变量1数组

数据列2:

    X2     # 样本变量2数组

五、DBSCAN算法API接口运用##

格式化样本数据（参见数据表I）字符（属性变量分隔符为“,”、行分隔符为“|”）
核半径  核心点阈值  

注：按格式输入样本数据，设置适当核半径和核心点阈值，点击“密度聚类列表”，自动按DBSCAN算法API接口格式递交数据，并解析回传数据、用列表展示聚类分析结果

核半径和核心点阈值的设置对DBSCAN算法聚类结果影响非常大。如果核心点阈值设置的偏大、或核半径偏小，则没有核心对象，所有样本将被判别为孤立点（分类为0）；核心点阈值设置的偏小、或核半径偏大，则核心对象多，样本容易被并为同类、甚至所有样本被聚为一类。

在DBSCAN算法API接口运用模板中，可以试着将核心点阈值改为3、5、6观察密度聚类效果。也可以将核半径改为0.5、2观察聚类效果。

关于R聚类内容参见银河统计之聚类分析 - 用R构建Shiny应用程序

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