电磁学13.广义安培环路定理

时变磁场的计算

导线连接圆形电容，电容半径为 (R) ，通电的时候，会在电容内部产生一个变化的电场E。

静态时，我们可以计算电容内部电场为

[E=frac{sigma _{ ext{free}}}{kappa epsilon _0} =frac{Q_{ ext{free}}}{ ext{$pi $R}^2 kappa epsilon _0} ]

但由于给电容通电，(Q_{free}) 在不断增加，电场变化的，为 (frac{ ext{dE}}{ ext{dt}}) ,根据电流定义：

[I=frac{ ext{dQ}_{ ext{free}}}{ ext{dt}} ]

可得变化的电场为

[frac{ ext{dE}}{ ext{dt}}=frac{I}{kappa epsilon _0 ext{$pi $R}^2} ]

只有电流为0时，电容内部才没有变化的电场。

通电瞬间，中间有电介质电容，电荷在极板上不断聚集，同时电介质不断的极化，感应电荷不断重新排列（电荷移动——内部有电流），当极板上的正负电荷达到一定程度，与电源提供的电场大小相同时，电荷不再聚集，电介质不再极化时，此时电流就为0。但是在真空电介质中，电容内部是没有电流的。

在距离导线 (r) 处取一点 (P_1) ，在电容上方距离导线相同距离的地方取一点 (P_2)。

我们关心的是，(P_1) 和 (P_2) 点的磁场是多少？由于电容是开口的，没有电流流过，怎么计算？

计算磁场大小，我们前面学过了毕奥萨法尔定律和安培定律，理论上毕奥萨法尔定律可以计算，但是电流会流到电容圆形极板上，显然很难计算。故用安培定律计算。

计算 (P_1) ​处磁感应强度

选择半径为 (r) 的闭合圆环应用安培定律，给圆环加上一个开曲面，先可以直接选择这个平面。

应用安培定律可得

[B_{P_1} 2 ext{$pi $r}=mu _0 I ]

故

[B_{P_1}=frac{ mu _0 I}{2 ext{$pi $r}} ]

依然选择半径为 (r) 的闭合圆环应用安培定律，但给圆环加上一个穿过电容内部的开曲面，因为电容内部是开路的，没有电流穿过开曲面。

应用安培定律

[B_{P_1} 2 ext{$pi $r}=mu _0 0 ]

现在计算结果为0。

计算 (P_2) 处磁感应强度

同 (P_1) 一样，选择半径为 (r) 的闭合圆环，给圆环加上一个开曲面，先可以直接选择这个平面。

应用安培定律

[B_{P_2} 2 ext{$pi $r}=mu _0 0 ]

故

[B_{P_2}=0 ]

显然出错了，计算有问题。

这说明，安培环路定律不够完善。前面的安培环路定律只能研究恒定磁场与直流(传导电流)之间的关系。

修正的安培环路定理与位移电流

麦克斯韦大佬作出了解释。他认为不论闭合曲线包围的开曲面形状如何，都应该得到相同的结果。

麦克斯韦对安培定律进行了完善。

他推理，法拉第定律指出，变化的磁通量会激发电场，那么也许变化的电通量会激发磁场。

开曲面中电通量为

[phi _E=underset{ ext{open} ext{surface}}{int }overset{ ightharpoonup }{E} overset{ ightharpoonup }{ ext{dA}} ]

电容有“电流""时，必须有变化的电场。麦克斯韦提出，我们必须加上电通量的导数。

[frac{ ext{d$phi $}_e}{ ext{dt}} ]

修正的安培环路定理：

[underset{ ext{close} ext{loop}}{oint }overset{ ightharpoonup }{B} overset{ ightharpoonup }{ ext{dl}}=mu _0 (I+epsilon _0 kappa frac{d}{ ext{dt}} underset{ ext{open} ext{surface}}{int } overset{ ightharpoonup }{E} overset{ ightharpoonup }{ ext{dA}}) ]

其中

[epsilon _0 kappa frac{d}{ ext{dt}} underset{ ext{open} ext{surface}}{int } overset{ ightharpoonup }{E} overset{ ightharpoonup }{ ext{dA}} ]

麦克斯韦将这一项记为 "位移电流" 。

实际上后面还需要修正。

但现在我们得到计算磁场的工具。

重新考虑 (P_1)

计算(P_1) 处磁感应强度

如果直接选择圆环内平面作为开曲面，没有电场穿过开曲面，显然位移电流项为0，故

[B_{P_1}=frac{ mu _0 I}{2 ext{$pi $r}} ]

如果选择一个穿过电容内部的开曲面，没有电流穿过开曲面，第一项电流为0，第二项加入电通量的导数，假设电容没有边缘场，则电通量就是 $ E pi R^2$ ,

[egin{align} B_{P_1} 2 ext{$pi $r}&=mu _0 epsilon _0 kappa pi R^2frac{ ext{dE}}{ ext{dt}}\ &=mu _0 epsilon _0 kappa pi R^2 frac{I}{kappa epsilon _0 ext{$pi $R}^2}\ &=mu _0 I end{align} ]

可得

[B_{P_1}=frac{ mu _0 I}{2 ext{$pi $r}} ]

结果相同。

一种是位移电流项没有贡献，一种是传导电流项没有贡献。

电容内部的磁场

现在我们可以计算电容内部任何地方的磁场。

假设 (P_2) 在距离导线 (r<R) 的距离，直接选择圆环内平面作为开曲面，有电场穿过。

应该修正后的安培环路定理，注意开曲面表面积是 (pi r^2)

[egin{align} B_{P_2} 2 ext{$pi $r}&=mu _0 epsilon _0 kappa pi r^2frac{ ext{dE}}{ ext{dt}}\ &=mu _0 epsilon _0 kappa pi r^2 frac{I}{kappa epsilon _0 ext{$pi $R}^2}\ &=mu _0 I end{align} ]

可得

[B_{P_2}=frac{ mu _0 I r}{2 pi R^{2}} ]

我们可以画出电容磁感应强度关于距离 (r) 曲线图

但实际上，接近边缘时是不正常的（方框，也就是 $r=R $），因为我们假设了边缘场为0，不同电容有不同的边缘场，很难准确计算，所以很难改正。