线性代数.22对角化和A的权利

对角化

上一节课我们知道了怎么求解特征值和特征向量。

假设 (A) 有 (n) 个线性无关特征向量，按列组成矩阵 (S) ,称其为特征向量矩阵。

我们算一下 (A) 乘以 (S) 会发生什么。

[egin{align} AS&=A. left( egin{array}{cccc} x_1 & x_2 & ... & x_n \ end{array} ight)\ &= left( egin{array}{cccc} lambda _1 x_1 & lambda _2 x_2 & ... & lambda _n x_n \ end{array} ight)\ &= left( egin{array}{cccc} x_1 & x_2 & ... & x_n \ end{array} ight) left( egin{array}{cccc} lambda _1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & lambda _2 & 0 & 0 \ ... & ... & ... & ... \ 0 & 0 & 0 & lambda _n \ end{array} ight)\ &= SLambda end{align} ]

注：(x) 表示列向量。

(Lambda) 表示特征值矩阵，她是对角矩阵。

我们得到公式

[AS=SLambda ]

左乘 (S^{-1})

[S^{-1}AS=S^{-1}SLambda ]

因为

[S^{-1}S=I ]

所以

[S^{-1}AS=Lambda ]

这就是对角化方法。

还可以写成另一种形式，就是右乘 (S^{-1}) 的时候,可得

[A=SLambda S^{-1} ]

这是新的矩阵分解方法，以前我们已经有消元法中的 (LU) 矩阵和格拉姆-施密特正交化中的 (QR) 矩阵。

前提条件是 (A) 有 (n) 个线性无关特征向量，这其实也说明，(S) 必须可逆。

意义

对角化的意义是在求解矩阵幂的时候。

例子1

已知 (Ax=lambda x) , 求解 (A^2) 的特征值和特征向量

两边同时乘以 (A) ,得

[A^2x=lambda A x =lambda^2x ]

所以，(A^2) 的特征向量还是 (x) ,但是特征值变为原来特征值的平方，即 (lambda^2)。

我们从对角化方法计算，

[A^2=SLambda S^{-1}.SLambda S^{-1}=SLambda^2 S^{-1} ]

对角化后，特征向量矩阵不变，表示矩阵平方后特征向量不变，但是特征值矩阵变为平方，表示矩阵平方后，特征值变为原来特征值的平方。

和上个式子的结论一样，只是变成矩阵形式。

对角化计算的美妙之处在于，我们可以轻易得到矩阵 (k) 次方的时候，特征值和特征向量的情况，即

[A^K=S Lambda^k S^{-1} ]

特征值变为原来的 (k) 次方。特征向量不变。

但是如果用刚开始那种方法，就不这么简单。

反过来理解，特征向量和特征值提供了理解、计算矩阵幂的好方法。

定理

当所有 (|lambda| <0) 时，有

[A^{k} ightarrow 0 quad as quad k ightarrow ∞ ]

此时我们称矩阵是稳定的。

因为 (A^K=S Lambda^k S^{-1}) ,(S) 不变，(A^K) 随着幂次越高越小，只有 (Lambda^k) 也随着幂次越高越小。

我们想要了解矩阵幂的情况，从特征值上就能得到信息。

这就是对角化的意义。

可对角化的情况

哪些矩阵可以对角化？(A) 必须存在 (n) 个线性无关特征向量。

而 (A) 必然存在 (n) 个线性无关特征向量的一个很好的条件是，所有的 (lambda) 都不同，也就是说没有重复的特征值。

但是如果有重复的 (lambda) ,就需要深入研究，可能但不一定存在 (n) 个线性无关特征向量。她不是一个肯定的结论。

例子1

一个 (10*10) 的单位阵，计算其特征值，结果都是 (1) .但是 (n) 阶单位阵的特征向量可以是任意 (n) 维向量。因为她们都满足 (Ax=lambda x)。我们可以完整的取到10个线性无关的特征向量。

例子2

假设有

[A=left( egin{array}{cc} 2 & 1 \ 0 & 2 \ end{array} ight) ]

我们想要对其对角化。

先算特征向量和特征值。

根据特征值方程

[det(A-lambda I)=left| egin{array}{cc} 2-lambda & 1 \ 0 & 2-lambda \ end{array} ight|=(2-lambda)(2-lambda) ]

解得

[lambda_1=2,lambda_2=2 ]

代入 ((A-lambda I)) ，有

[A-lambda I= left( egin{array}{cc} 0& 1 \ 0 & 0 \ end{array} ight) ]

计算该矩阵的零空间的基向量，可得

[x= left( egin{array}{c} 1 \ 0 \ end{array} ight) ]

只有一个特征向量。所以这个 (2*2) 矩阵的特征向量不完整，无法对角化。

计算特征值重复次数时，我们用代数重度（algebraic multiplicity）表示。例子2的代数重度就是2，即特征值重复了两次，她体现在多项式根的时候用了两次。

差分方程组求解

一阶差分方程组的求解

已知向量 (u_0)，下一项等于矩阵 (A) 乘以前一项，即 (u_{k+1}=Au_k)。求解 (u_k) ,这是一阶差分方程组，由向量和矩阵组成。

我们可以得到，

(u_1=Au_0)，

(u_2=Au_1=A^2u_0),

...

(u_k=A^ku_0).

这是一阶差分方程组的解。

问题是，如何根据初始值 (u_0) 来求解 (u_k) 的具体的数值。

把 (u_0) 看称若干个线性无关特征向量（可以理解为基向量，她们的线性组合可以生成 (u_0) ）相加:

[u_0=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n ]

其中，(c) 表示标量，是常数。

将 (u_0) 左乘 (A)

[egin{align} Au_0&=c_1Ax_1+c_2Ax_2+...+c_nAx_n\ &=c_1lambda_1x_1+c_2lambda_2x_2+...+c_nlambda_nx_n end{align} ]

可得

[egin{align} u_{100}= A^{100}u_0 &=c_1lambda_1^{100}x_1+c_2lambda_2^{100}x_2+...+c_nlambda_n^{100}x_n end{align} ]

矩阵形式：

[u_{100}=A^{100}u_0=Lambda^{100}SC ]

总结：

计算 (u_{100}) ,步骤如下

将初始向量展开成特征向量的组合
然后矩阵 (A^{100}) 乘以各个特征向量
矩阵 (A) 可以化简为特征值 (lambda) , (A^{100}) 化简为对应的 (lambda^{100}) .

斐波那契数列（二阶差分方程组的求解）

已知斐波那契数列：0、1、1、2、3、5、8...，我们想要知道，第100项 (F_{100}) 等于多少？以及她的增长速度有多快？

前面我们讲过，矩阵增长稳定，最终趋向等于零，她的变化可以由特征值体现和决定。这里也是一样。数列的增长由特征值决定。

斐波那契数列递归式:

[F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k} ]

我们希望写成 (u_k=A^ku_0) 的形式。但目前只有一个方程，而且是二阶差分方程，就像含有二阶导数的微分方程，希望能化简为只含有一阶导数的微分方程，也就是一阶差分。怎么做？

技巧是如何定义向量 (u_k).用一个 (2*2) 方程组代替原来的二阶差分方程。

令

[u_k=left( egin{array}{c} F_{k+1} \ F_k \ end{array} ight) ]

追加一个方程

[F_{k+1}=F_{k+1} ]

此时联立两个方程 (F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}、F_{k+1}=F_{k+1})。可以写出 (u_{k+1}) 表达式。

可得

[u_{k+1}= left( egin{array}{c} F_{k+2} \ F_{k+1} \ end{array} ight)= left( egin{array}{cc} 1 & 1 \ 1 & 0 \ end{array} ight) left( egin{array}{c} F_{k+1} \ F_k \ end{array} ight)=left( egin{array}{cc} 1 & 1 \ 1 & 0 \ end{array} ight)u_k=Au_k ]

这里就将二阶差分方程变为一阶。

同一阶差分一样，有 (u_k=A^ku_0) .

得到 (A) ,就可以计算特征值和特征向量，通过特征值方程可得

[det(A-lambda I)= left| egin{array}{cc} 1-lambda & 1 \ 1 & -lambda \ end{array} ight|=lambda^2-lambda-1 ]

解得

[lambda_1=frac{1}{2} left(1+sqrt{5} ight)≈1.618，lambda_2=frac{1}{2} left(1-sqrt{5} ight)≈-0.618 ]

(lambda) 不同，(A) 可以对角化。

[egin{align} u_{100}= A^{100}u_0 &=c_1lambda_1^{100}x_1+c_2lambda_2^{100}x_2 end{align} ]

数列的增长由特征值决定。而 (lambda) 较大的一个起到决定性作用，因为根据对角化后的式子，(lambda_1^{n}) 越来越大，而 (lambda_2^{n}) 越来越小,趋向于0，因此我们可以将 (F_{100}) 写为

[F_{100}≈c_1lambda_1^{100}=c_1(frac{1}{2} left(1+sqrt{5} ight))^{100} ]

所以数列在第一百项的增长速率由 (lambda_1^{100}) 决定。

求解特征向量，将两个 $lambda $ 分别代入((A-lambda I)x=0) ，可得

[x_1=left( egin{array}{c} lambda _1 \ 1 \ end{array} ight)， x_2=left( egin{array}{c} lambda _2 \ 1 \ end{array} ight) ]

而初始向量

[u_0=left( egin{array}{c} F_1 \ F_0 \ end{array} ight) =left( egin{array}{c} 1 \ 0 \ end{array} ight) ]

展开成特征向量的组合

[u_0=c_1x_1+c_2x_2=left( egin{array}{c} 1 \ 0 \ end{array} ight) ]

知道 (x_1、x_2)，可解得

[c_1=frac{1}{sqrt{5}} ，c_2=-frac{1}{sqrt{5}} ]

代入

[F_{100}≈c_1lambda_1^{100}=c_1(frac{1}{2} left(1+sqrt{5} ight))^{100}≈3.54225 imes 10^{20} ]