【LightOJ1336】Sigma Function（数论）

【LightOJ1336】Sigma Function（数论）

题面

Vjudge
求和运算是一种有趣的操作，它来源于古希腊字母σ，现在我们来求一个数字的所有因子之和。例如σ(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.对于小的数字求和是非常的简单，但是对于大数字求和就比较困难了。现在给你一个n，你需要求出有多少个数字的σ是偶数。
注：一个数字的σ指这个数的所有因子之和

题解

现在观察一下数的因子和的奇偶性
如果这个数是一个奇数
那么，它的因子一定成对存在
且每一对的和都是偶数
但是，如果是完全平方数，那么它有一对为奇数
所以，所有奇数的完全平方数的因子和是奇数

如果这个数是偶数
那么，它可以写成(2^x*n)的形式
它的因子也可以看成成对存在的
所以，如果因子两项中都是偶数，那么和也是偶数，
所以，需要考虑的是分解成(2^x*a)和(b)的形式
但是(a,b)是对称的，所以有(2^x*a)就必有(2^x*b)
所以，这样组合起来还是偶数
但是，发现当(n)是完全平方数的时候
只能写出一个(2^x*sqrt n)和(sqrt n)
此时的因数的和是奇数

所以，我们发现，
只有(2^x*i^2)且(i)是奇数的时候
他们的因子的和才是奇数

所以，要求的就是(n)中含有几个(2^x*i^2)
每次把(n)除二，这样考虑每次的结果中含有几个(i^2)的倍数就行了

---

补充(O(1))做法
上面的分类可以继续简化：
也就是所有的完全平方数和他们的两倍
所以，减去的值就是(sqrt n + sqrt frac{n}{2})

---

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
inline ll read()
{
	ll x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int main()
{
	int T=read();
	for(int gg=1;gg<=T;++gg)
	{
		ll n=read(),l=sqrt(n);
		ll ans=n;
		while(n)
		{
			ll gg=sqrt(n);if(gg%2==0)gg--;
			ans-=(gg+1)/2;
			n>>=1;
		}
		printf("Case %d: %lld
",gg,ans);
	}
	return 0;
}