约瑟夫环--数学高效率解法

问题描述

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始报数,报到m的人被处死,剩下n-1个人继续这个过程,直到最终只剩下一个人留下。问题是：给定了n和m，一开始要站在什么位置才能避免被处决？

对于这个题目最基本的解法是使用循环链表模拟全过程。

#include<iostream>
 
using namespace std;
 
/************约瑟夫问题****************/
 
typedef struct CLinkList
{
    int data;
    struct CLinkList *next;
}node;
 
 
int main()
{
///建立循环链表
    node *L,*r,*s;
    L = new node;
    r =L;
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    for(i = 1;i<=n;i++)       //尾插法建立链表
    {
        s = new node;
        s->data = i;
        r->next = s;
        r= s;
    }
    r->next =L->next;       //让最后一个结点指向第一个有数据结点
    node *p;
    p = L->next;
    delete L;   //删除第一个空的结点
 
///模拟解决约瑟夫问题
    while(p->next != p)                            //判断条件：因为最后肯定剩下一个人， 循环链表的最后一个数据的next还是他本身
    {
        for(i = 1;i<k-1;i++)
        {
            p = p->next;                         //每k个数死一个人
        }
        cout<<p->next->data<<"->";
        p->next = p->next->next;                   //将该节点从链表上删除。
        p = p->next;
    }
    cout<<p->data<<endl;
    return 0;
}

当n，m数据量很小的时候，我们可以用循环链表模拟约瑟夫环的过程。当模拟到人数等于1的时候，输出剩下的人的序号即可。这种方法往往实现起来比较简单，而且也很容易理解。但是时间复杂度却是很糟糕的，达到了O（n*m），因为即使2个人，也要模拟K遍，存在着大量的浪费。在n，m比较大的时候（n*m达到10^8或者更大），那么要得出结果往往需要耗费很长的时间，但是我们可以运用一点数学上的技巧，将最后结果推导出来。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个出列的人编号一定是 m%n -1。那么剩下的n-1个人便可以看做组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把n-1个人的时候的编号做一下转换（全部减去k）：
　　k     --> 0
　　k+1   --> 1
　　k+2   --> 2
　　...
　　...
　　k-2   --> n-2

　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题！（这不是让我们倒推吗？!）

　　假如我们知道这个子问题的解：例如A[n-1]是在n-1个人中的最终胜利者，那么根据上面对A[n-1]进行转换便刚好就是n个人情况的解。变回去的公式很简单，如下：

　　A[n]=(A[n-1] +k)%n。（k是在n个人中第一个出列的人的编号，此处这个公式涉及了上面叙述到的编号的转换，需要搞懂了才能理解）

　　由于k=m%n，那么公式也可以写为A[n]=(A[n-1] +m)%n。为什么呢？很容易理解，7%3=1 , 1%3=1。

　　如此也是得出了递推公式：

　　A[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是A[n]

　　A[1]=0;

　　A[2]=(A[1]+m)%2;
　　A[i]=(A[i-1]+m)%i; (i>1)

　　有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出A[i]的数值，最后结果是A[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出A[n]+1
　　由于是逐级递推，不需要保存每个A[i]，于是便得到了最终的程序：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int winner=0;//总人数n，数到m的倍数离开，最后的人winner
    for(int i=2;i<=n;i++)
        winner=(winner+m)%i;
    cout<<"Winner:"<<winner+1<<endl;
}