CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

题意

给定三个数(k),(pa),(pb)
每次有(frac{pa}{pa+pb}) 的概率往后面添加一个'(a)'
每次有(frac{pb}{pa+pb})的概率往后面添加一个'(b)'
当出现了(k)个形如(ab)的子序列（不用连续）时停止
求最后的(ab)序列的期望数
答案对(10^9+7)取膜

Sol

(f[i][j])表示前面有(i)个(a)，(j)对(ab)的期望(ab)的对数
倒着来转移
显然
(f[i][j]=f[i+1][j]*frac{pa}{pa+pb}+f[i][i+j]*frac{pb}{pa+pb})
答案就是(f[0][0])辣
然而(f[0][0]=f[1][0]*frac{pa}{pa+pb}+f[0][0]*frac{pb}{pa+pb})
不好算
移项后得到(f[0][0]=f[1][0])
所以输出(f[1][0])就好了

然而串长是无限的，(a)的个数也是无限的，(ab)的对数无限，它们可以到(infty)
这就很不好做了了

但是你会发现，当(a)无穷多时，放一个(b)，(ab)对数就会超过(k)，显然直接就停了
对于(f[i][j])，当(i+j>=k)时，考虑它的期望
也就是(f[i][j]=frac{pb}{pa+pb}sum_{l=0}^{infty}(frac{pa}{pa+pb})^l(i+j+l))
设
(S=sum_{l=0}^{infty}(frac{pa}{pa+pb})^l(i+j+l))
则
(frac{pa}{pa+pb}S=sum_{l=0}^{infty}(frac{pa}{pa+pb})^{l+1}(i+j+l))
两式相减得
((1-frac{pa}{pa+pb})S=(i+j)+sum_{l=1}^{infty}(frac{pa}{pa+pb})^l)
而
(sum_{l=1}^{infty}(frac{pa}{pa+pb})^l)
也可以类似处理
得到就是
(frac{frac{pa}{pa+pb}-(frac{pa}{pa+pb})^{infty}}{1-frac{pa}{pa+pb}}=frac{pa}{pb})
带回去
((1-frac{pa}{pa+pb})S=(i+j)+frac{pa}{pb})
即
(frac{pb}{pa+pb}S=(i+j)+frac{pa}{pb})

所以
(f[i][j]=frac{pb}{pa+pb}S=(i+j)+frac{pa}{pb})

# include <bits/stdc++.h>
# define RG register
# define IL inline
# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Zsy(1e9 + 7);

int k, pa, pb, invb, inv, f[1005][1005], Pa, Pb;

IL int Input(){
    RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar();
    for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
    return x * z;
}

IL int Pow(RG ll x, RG ll y){
	RG ll ret = 1;
	for(; y; y >>= 1, x = x * x % Zsy)
		if(y & 1) ret = ret * x % Zsy;
	return ret;
}

int main(RG int argc, RG char *argv[]){
	k = Input(), pa = Input(), pb = Input();
	invb = Pow(pb, Zsy - 2), inv = Pow(pa + pb, Zsy - 2);
	Pa = 1LL * pa * inv % Zsy, Pb = 1LL * pb * inv % Zsy;
	for(RG int i = k; i; --i)
		for(RG int j = k; ~j; --j)
			if(i + j >= k) f[i][j] = ((i + j) + 1LL * pa * invb % Zsy + Zsy) % Zsy;
			else f[i][j] = (1LL * f[i + 1][j] * Pa % Zsy + 1LL * f[i][j + i] * Pb % Zsy) % Zsy;
	printf("%d
", f[1][0]);
    return 0;
}