Problem. E

命题：

(limlimits_{n o+infty}frac{sumlimits_{k=0}^nfrac{n!}{(n-k)!n^k}}{sqrt{2pi n}}=1)

证明：

先进行简单的恒等变换：
(mathrm{LHS}=frac{sumlimits_{k=0}^nfrac{n!}{k!n^{n-k}}}{sqrt{2pi n}})
然后利用Stirling公式拆开(n!)：
(mathrm{LHS}=frac{sumlimits_{k=0}^nfrac{sqrt{2pi n}(frac ne)^n}{k!n^{n-k}}}{sqrt{2pi n}})
进行一些整理：
(mathrm{LHS}=sumlimits_{k=0}^nfrac{n^k}{k!e^n})
不难发现这是(e^n)的Maclaurin展开的形式，因此：
(mathrm{LHS}=1=mathrm{RHS})
命题得证。