LCA的一些算法

　　LCA，就是求树上任意两点的最近公共祖先

　　（本题图片与代码均为Luogu3379）

　　方法我好像讲过一个，这次把主要的三个一起讲一讲

　　<1> 倍增（O（n log n））

　　我们先考虑最基本的LCA，记录每一个点的父节点和深度。

　　对于两个点x，y，先将它们调到同一高度（令dep[x]>dep[y]，即把x向上移（dep[x]-dep[y])步即可，然后一起往上走就可以了。

　　这复杂度是O（nq）的，所以在此基础上优化。

　　用father[i][j]表示点j向上走2^i步时的点是多少（没有就是-1），然后每次上移只要走log n次即可。

　　预处理的话 father[i][j]]=father[i-1][father[i-1][j]]；递推即可。

　　CODE

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=500005,P=25;
struct data
{
    int to,next;
}e[N*2+10];
int head[N*2+10],dep[N],father[P][N],i,j,n,m,x,y,root,k;
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
inline void write(int x)
{
    if (x/10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inline void add(int x,int y)
{
    e[++k].to=y; e[k].next=head[x]; head[x]=k;
}
inline void dfs(int k,int fa,int d)
{
    father[0][k]=fa;
    dep[k]=d;
    for (int i=head[k];i!=-1;i=e[i].next)
    if (e[i].to!=fa) dfs(e[i].to,k,d+1);
}
inline int LCA(int x,int y)
{
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for (i=P-1;i>=0;--i)
    if (((dep[x]-dep[y])>>i)&1) x=father[i][x];
    if (x==y) return x;
    for (i=P-1;i>=0;--i)
    if (father[i][x]!=father[i][y])
    {
        x=father[i][x];
        y=father[i][y];
    }
    return father[0][x];
}
int main()
{
    read(n); read(m); read(root);
    memset(e,-1,sizeof(e));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(father,-1,sizeof(father));
    for (i=1;i<n;++i)
    {
        read(x); read(y);
        add(x,y); add(y,x);
    }
    dfs(root,-1,0);
    for (j=0;j<P-1;++j)
    for (i=1;i<=n;++i)
    if (father[j][i]==-1) father[j+1][i]=-1; else father[j+1][i]=father[j][father[j][i]];
    while (m--)
    {
        read(x); read(y);
        write(LCA(x,y));
        putchar('
');
    }
    return 0;
}

　　<2> DFS序+RMQ（O（n log n））

　　考虑一棵树的DFS序（不懂查百度），如样例的DFS序就是：4 2 4 1 3 1 5 1 4

　　不难发现，两个点的LCA就是它们第一次出现的位置之间深度最小的点（证明略）。

　　所以我们用RMQ实现O（1）查询，预处理是O（n log n)

　　注意RMQ返回的是具体的点而不是深度

　　不得不提的是数据的first[x],first[y]值不一定是从小到大排的，需要判断一下（RE了很久)

　　CODE

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=500005,P=25;
struct data
{
    int to,next;
}e[N*2+10];
struct RMQ
{
    int num,x;
}f[P][N*2+10];
int head[N],first[N],n,m,root,i,j,k,tot,x,y;
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
inline void write(int x)
{
    if (x/10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inline void add(int x,int y)
{
    e[++k].to=y; e[k].next=head[x]; head[x]=k;
}
inline void dfs(int k,int fa,int d)
{
    f[0][++tot].num=k; 
    f[0][tot].x=d;
    first[k]=tot;
    for (int i=head[k];i!=-1;i=e[i].next)
    if (e[i].to!=fa) dfs(e[i].to,k,d+1),f[0][++tot].num=k,f[0][tot].x=d;
}
int main()
{
    //freopen("testdata.in","r",stdin); freopen("testdata.out","w",stdout);
    read(n); read(m); read(root);
    memset(e,-1,sizeof(e));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for (i=1;i<n;++i)
    {
        read(x); read(y);
        add(x,y); add(y,x);
    }
    dfs(root,-1,0);
    for (j=1;j<P;++j)
    for (i=1;i+(1<<j)-1<=tot;++i)
    if (f[j-1][i].x<f[j-1][i+(1<<(j-1))].x) f[j][i].x=f[j-1][i].x,f[j][i].num=f[j-1][i].num; else f[j][i].x=f[j-1][i+(1<<(j-1))].x,f[j][i].num=f[j-1][i+(1<<(j-1))].num;
    while (m--)
    {
        read(x); read(y);
        x=first[x]; y=first[y];
        if (x>y) swap(x,y);
        int k=(int)log2(y-x+1);
        if (f[k][x].x<f[k][y-(1<<k)+1].x) write(f[k][x].num); else write(f[k][y-(1<<k)+1].num);
        putchar('
');
    }
    return 0;
}

　　<3> Tarjan（O（n+q））

　　这个我第一次写这道题的时候已经写过了，具体看http://www.cnblogs.com/cjjsb/p/8203882.html

　　这里给一下邻接表的代码（好不容易会打）

　　CODE

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=500005;
struct data
{
    int to,next;
}e[N*2+10];
struct ques
{
    int to,next,num;
}q[N*2+10];
int head[N],qhead[N],father[N],ans[N],i,k,qk,x,y,n,m,root;
bool vis[N];
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
inline void write(int x)
{
    if (x/10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inline void add(int x,int y)
{
    e[++k].to=y; e[k].next=head[x]; head[x]=k;
}
inline void qadd(int x,int y,int z)
{
    q[++qk].to=y; q[qk].num=z; q[qk].next=qhead[x]; qhead[x]=qk;
}
inline int getfather(int k)
{
    return father[k]==k?k:father[k]=getfather(father[k]);
}
inline void dfs(int k)
{
    vis[k]=1;
    for (int i=qhead[k];i!=-1;i=q[i].next)
    if (vis[q[i].to]) ans[q[i].num]=getfather(q[i].to);
    for (int i=head[k];i!=-1;i=e[i].next)
    if (!vis[e[i].to]) dfs(e[i].to),father[e[i].to]=k;
}
int main()
{
    read(n); read(m); read(root);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(qhead,-1,sizeof(qhead));
    memset(e,-1,sizeof(e));
    memset(q,-1,sizeof(q));
    for (i=1;i<n;++i)
    {
        read(x); read(y);
        add(x,y); add(y,x);
    }
    for (i=1;i<=m;++i)
    {
        read(x); read(y);
        qadd(x,y,i); qadd(y,x,i);
    }
    for (i=1;i<=n;++i)
    father[i]=i;
    dfs(root);
    for (i=1;i<=m;++i)
    write(ans[i]),putchar('
');
    return 0;
}