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洛谷
刚开始你有一个数字(0)，
每一秒钟你会随机选择一个([0,2^n-1])的数字，与你手上的数字进行或操作。
选择数字(i)的概率是(p_i)。保证(0le p_ile 1，sum p_i=1)
问期望多少秒后，你手上的数字变成(2^n-1)。
data range
[nle 20
]
solution
之前一直在想分治怎么做
发现根本递推不了
于是(gg)
考虑(Min-max)容斥。
我们知道最终答案(Ans=E(max_{i=1}^{n}f_i)),其中(f_i)表示第(i)位变成(1)的次数
由(Min-max)容斥,我们知道
[max{S}=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1} imes min{T}
]
令(S={f_i})那么
[E(max{S})=E(sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1} imes min{T})=max{S}=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1} imes E(min{T})
]
现在的问题变为如何求(E(min{T}))
只要(T)中有一位被或上即可,因此
[E(min{T})=frac{1}{sum_{icup T
ot=varnothing}p_i}
]
而(sum_{icup T ot=varnothing}p_i=1-sum_{isubseteq overline{T}}p_i)
于是直接(FWT)或高维前缀和即可
Code
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define Cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define Set(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define FILE "a"
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const int N=1<<20;
const int M=1e7+10;
const int mod=1e9+7;
const int base=26;
const dd eps=1e-6;
const int inf=2147483647;
const ll INF=1ll<<60;
const ll P=100000;
il ll read(){
RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
return data*w;
}
il void file(){
srand(time(NULL)+rand());
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
}
il int count(int x){int r=0;while(x)x&=(x-1),r++;return r;}
int n,m;dd p[N],ans;
int main()
{
m=read();n=(1<<m);
for(RG int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
for(RG int i=1;i<n;i<<=1)
for(RG int j=0,l=i<<1;j<n;j+=l)
for(RG int k=0;k<i;k++)
p[i+j+k]+=p[j+k];
for(RG int i=0;i<n;i++)p[i]=1/(1-p[i]);
for(RG int i=0;i<n-1;i++)count(n-i-1)&1?ans+=p[i]:ans-=p[i];
if(ans>INF)return puts("INF"),0;printf("%.10lf
",ans);return 0;
}