概率生成函数
如果对于数列(a_0 , a_1 , a_2 , . . . ,)存在某个离散随机变量(X)满足(mathrm{Pr}(X = i) = a_i,)那么(a_n (n in
mathbb N))的普通生成函数被称为(X)的概率生成函数。
也就是说,如果(X)是非负整数集(mathbb N)上的离散随机变量,那么X的概率生成函数为：
[F(z) = mathbb E(z^X) = sum_{i=0}^infty mathrm{Pr}(X = i)z^i
]
概率生成函数性质
因为是(X)是非负整数集(mathbb N)上的离散随机变量，所以必有
[F(1) = sum_{i=0}^infty mathrm{Pr}(X = i) = 1
]
对(F(z))求导，得到
[F'(z) = sum_{i=0}^infty imathrm{Pr}(X = i)z^{i - 1}
]
即(X)的期望
[E(X) = F'(1) = sum_{i=0}^infty imathrm{Pr}(X = i)
]
进一步推导可得
[E(X ^ underline{k}) = F^{(k)}(1), (k
eq 0)
]
于是(X)的方差
[mathrm{Var}(X) = F''(1) + F'(1) - (F'(1)) ^ 2
]