主定理
递归中，一个规模为n的问题分成a个规模为n/b的问题，额外计算复杂度为c*n^d,那么
[T(n) = O(n^dlog{n})(a = b^d)
]
[T(n) = O(n^d) (a < b^d)
]
[T(n) = O(n^{log_{b}{a}}) (a > b^d)
]
证明
我们画出递归树，则递归树共有logb(n)+1层。对于第j层，有aj个子问题，每个子问题规模为n/bj。
则第j层所用时间为
[a ^ j c (frac{n}{b^j}) ^ d = c n ^ d (frac{a}{ b ^ d}) ^ j
]
接下来求所有层的和
[TotalWork = c n ^ d sum_{j=0}^{log_b n}(a / b ^ d) ^ j
]
根据a与b^d的大小讨论，易得主定理中结论
tip
若不为平均分，则设最大的一部分为p*n(0 < p < 1)，则树的深度为$$log_{1/p}(n) + 1$$又由于$$log_{1/p}(n) = frac{log(n)}{log(1/p)}$$
所以深度依旧是log(n)级别
更多关于主定理见这里
快排复杂度分析
由于快排分割随机，所以我们考虑平均复杂度
[T(n) = T(i) + T(n - i) + c n
]
[E(T(i)) = frac{1}{n}sum_{j = 0}^{ n - 1}T(j)
]
所以有$$E(T(n - i)) = E(T(i))$$
[T(n) = frac{2}{n} sum_{j=0}^{n-1}T(j) + cn
]
两边同乘以n
[nT(n) = 2sum_{j=0}^{n-1}T(j) + cn ^ 2 ([1])
]
又有
[(n - 1)T(n - 1) = 2 sum_{j=0}^{n-2}T(j) + c(n - 1) ^ 2 ([2])
]
[1] - [2] 得
[nT(n) = (n + 1)T(n - 1) + 2cn + c
]
两边同除n*(n+1)得
[frac{T(n)}{n + 1} = frac{T(n - 1)}{n} + frac{2c}{ n + 1} + frac{c}{n (n + 1)}
]
累加求和，得
[frac{T(n)}{n + 1} = frac{T(1)}{ 2} + 2cln(n) + 2cγ $$ //γ为欧拉常数
所以$$T(n) ≈ 2cnln n]
用数学方法求程序复杂度
当然是根据递推求通项咯！这个坑有空来补