RSA是由MIT的三位数学家R.L.Rivest，A.Shamir和L.Adleman[Rivest等1978, 1979]提出的一种用数论构造双钥的方法，被称为MIT体制，后来被广泛称之为RSA体制。其既可以作为加密，又可以用于数字签字。RSA算法的安全性基于数论中大整数分解的困难性。
算法描述
1.独立的选取两个大素数p和q
2.计算(n = p * q)，其欧拉函数值为(phi(n) = (p-1) * (q-1))
3.随机选一个整数(e)，(1leq eleq phi(n) , gcd(phi(n),e) = 1) #gcd为最大公约数
4.在模(phi(n))下，计算e的逆元(d = e^{-1} mod phi(n)) #意思是((e * d) mod phi(n) =1)
5.以n,e为公钥，密钥为d
加密
将明文分组，每组的数要求小于n（字符串就想办法映射到整数）
计算(c = m^e mod n)，其中m为明文，c为可以传输的密文
解密
计算(m = c^d mod n)
这个过程中只有算法描述中的第三步可能不是直接想到求解方法，对应这个问题，可以用扩展的欧几里得算法来求逆元。
以下算法内容来源自华中科技大学的PPT，在此注明。
问题：求A关于模N的逆元B
迭代计算
N ＝ A × a0 ＋ r0
A ＝ r0 × a1 ＋ r1
r0＝ r1 × a2 ＋ r2
r1＝ r2 × a3 ＋ r3
……
rn-2＝ rn-1 × an ＋ rn
rn-1＝ rn-2× an+1＋ 0
对上面的商数逆向排列(不含余数为0的商)
其中(b_{-1} = 1)，(b_0 = a_n)，(b_i = a_{n-i} * b_{i-1} + b_{i-2})
如果商的个数为偶数，则(b_n)就是所求的B
如果商的个数为奇数，则(N-b_n)就是所求的B
例1：求61关于模105的逆元
105＝61×1＋44
61 ＝44×1＋17
44 ＝17×2＋10
17 ＝10×1＋7
10 ＝7 ×1＋3
7 ＝3 ×2＋1
3 ＝3 ×1＋0
由于商的个数为偶数（不包括余数为0的商），所以31就是61关于105的逆元
例二：求31关于模105的逆元
105＝31×3＋12
31 ＝12×2＋7
12 ＝7 ×1＋5
7 ＝5 ×1＋2
5 ＝2 ×2＋1
2 ＝1 ×2＋0
商的个数是奇数，所以105-44 = 61为31关于模105的逆元
代码实现如下：
# coding=utf8
class RSA:
def encrypt(self, string, n, e):
'''
use RSA algorithm to encrypt string
:param string: the String need to be encrypt
:param n: p * q
:param e: encrypt code number
:return: encrypt number
这里是将字符先转换为ASCII值再加密
'''
s = []
for i in string:
s.append(str(ord(i)))
for i in range(len(s)):
s[i] = int(s[i]) ** e % n
return s
def decrypt(self, p, q, e, encoding):
'''
:param p: prime number p
:param q: prime number q
:param e: encrypt code number
:param encoding: the string that need to be decrypted
:return: the string that decrypt the encoding number
这里相应的多了一步将ASCII转为字符后拼接的过程
'''
f_n = (p - 1) * (q - 1)
n = p * q
d = RSA.ext_euclid(e, f_n)
s = []
for i in range(len(encoding)):
s.append(chr(encoding[i] ** d % n))
return ''.join(s)
@staticmethod
def ext_euclid(e, f_n):
'''
:param e: encrypt code number
:param f_n: p * q
:return: the number that multiply e mod n equals 1
'''
nc = f_n
if e > f_n or type(e) != int or type(f_n) != int:
return -1
quotient = [] #商的列表
remainder = -1 #余数
while remainder != 0:
quotient.append(f_n / e)
remainder = f_n - (f_n / e) * e
f_n = e
e = remainder
quotient = quotient[:-1][::-1] #对应上面写的将商逆序写出来
d_list = [1, quotient[0]]
for i in range(1, len(quotient)):
d_list.append(d_list[-1] * quotient[i] + d_list[-2])
return d_list[-1] if len(quotient) % 2 == 0 else nc - d_list[-1] #如果商的个数是偶数，直接返回bn，否则返回N - bn
if __name__ == '__main__':
r = RSA()
p = int(raw_input("p = "))
q = int(raw_input("q = "))
e = int(raw_input("e = "))
string = raw_input("String: ")
en = r.encrypt(string, p * q, e)
print "encrypted code: ", ' '.join(map(str, en))
print "decrypted code: ", r.decrypt(p, q, e, en)
运行如图：
这里可以用小素数的原因是在代码中将明文简单的按字符分组了，但这样会收到频率分析的攻击，在此仅是实验用。