大数乘法的几种算法分析及比较（2014腾讯南京笔试题）

1.题目

编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。

2.题目分析

该题相继被ACM、华为、腾讯等选作笔试、面试题，笔者2014年替师兄去腾讯笔试就遇到此题，当然若无准备要写出这种程序，还是要花一定的时间的。故，觉得有必要深入研究一下。搜索了网上的大多数该类程序和算法，发现，大数乘法主要有模拟手工计算的普通大数乘法，分治算法和FFT算法。其中普通大数乘法占据了90%以上，其优点是空间复杂度低，实现简单，时间复杂度为O（N²），分治算法虽然时间复杂度降低为,

但其实现需要配合字符串模拟加减法操作，实现较为复杂，

参考博客1http://cnn237111.blog.51cto.com/2359144/1201901

FFT算法则更为复杂，较少适用，有兴趣

参考博客2 http://blog.csdn.net/hondely/article/details/6938497

和博客3http://blog.csdn.net/jackyguo1992/article/details/12613287。

普通大数乘法算法，主要有逐位相乘处理进位法、移位进位法，下面对其进行介绍并优化。

3.题目解答

3.1 逐位相乘处理进位法

参考博客4的思路

乘积是逐位相乘，也就是aibj，结果加入到积C的第i+j位，最后处理进位即可，例如：A =17 = 1*10 + 7 = （7,1）最后是十进制的幂表示法，幂次是从低位到高位，以下同。B=25 = 2*10 + 5 = (5, 2);C = A * B = (7 * 5, 1 * 5 + 2 * 7, 1 * 2) = (35, 19, 2) = (5, 22, 2) = (5, 2. 4)=425。

原博客的思路为：
（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

原博客中采用指针参数传递，字符串长度有限制，改为通过string传参数，按原思路编程如下：

头文件和数据结构：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
struct bigcheng
{
	vector<int> a;
	vector<int> b;
	string result_str;
};
void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng);//字符串转换为数字并反转
void multiply(bigcheng &tempchengh,vector<int> &result_num);//逐位相乘,处理进位消除多余的0
void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num);//将计算结果转换为字符串并反转

（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng)
{
	int size_a=a.size();
	int size_b=b.size();
	for (int i=size_a-1;i>=0;i--)
	{
		tempcheng.a.push_back(a[i]-'0');
	}
	for (int i=size_b-1;i>=0;i--)
	{
		tempcheng.b.push_back(b[i]-'0');
	}
}

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；代码为：

void multiply(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)
{
	for (unsigned int i=0;i<tempcheng.a.size();i++)
	{
		for (unsigned int j=0;j<tempcheng.b.size();j++)
		{
			result_num[i+j]+=(tempcheng.a[i])*(tempcheng.b[j]);
		}
	}
	for (int i=result_num.size()-1;i>=0;i--)
	{
		if (result_num[i]!=0)
		{
			break;
		}
		else
			result_num.pop_back();
	}
	int c=0;
	for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)//处理进位
	{
		result_num[i]+=c;
		c=result_num[i]/10;
		result_num[i]=result_num[i]%10;
	}
	if (c!=0)
	{
		result_num.push_back(c);
	}
}

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)
{   int size=result_num.size();
	for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)
	{
		tempcheng.result_str.push_back(char(result_num[size-1-i]+'0'));
	}
}

主函数为：

int main()
{
       bigcheng tempcheng;
	string a,b;
	cin>>a>>b;
	chartonum(a,b,tempcheng);
	vector<int> resultnum(a.size()+b.size(),0);
	multiply(tempcheng,resultnum);
	numtochar(tempcheng,resultnum);
	cout<<tempcheng.result_str<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}

上面的思路还是很清晰的，但代码有些过长，考虑优化如下：

（1）上述思路是先转换反转，其实无需先将全部字符串转换为数字的，可即用即转，节约空间；

（2）无需等到逐位相乘都结束，才处理进位，可即乘即进；

（3）无需等到所有结果出来后，将结果转换为字符，可即乘即转。

优化后时间复杂度不变，但节省了空间，代码更简洁。如下：

头文件和数据结构：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
using namespace std;
struct bigcheng2
{
	string a;
	string b;
	string result_str;
};
void reverse_data( string &data)；//字符串反转
void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2);//字符串模拟相乘

字符串反转：

void reverse_data( string &data)
{
	char temp = '0';
	int start=0;
	int end=data.size()-1;
	assert( data.size()&& start <= end );
	while ( start < end )
	{
		temp = data[start];
		data[start++] = data[end];
		data[end--] = temp;
	}
}

两数相乘：

void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2)
{
	reverse_data(tempcheng2.a);//字符串反转
	reverse_data(tempcheng2.b);
	int c=0;
	string temp(tempcheng2.a.size()+tempcheng2.b.size(),'0');//将temp全部初始化为0字符
	for (unsigned int i=0;i<tempcheng2.a.size();i++)
	{
		unsigned int j;
		for (j=0;j<tempcheng2.b.size();j++)
		{
			c+=temp[i+j]-'0'+(tempcheng2.a[i]-'0')*(tempcheng2.b[j]-'0');//注意temp[i+j]可能保存有上一次计算的结果
			temp[i+j]=(c%10)+'0';//将结果转换为字符
			c=c/10;
		}
		while(c)
		{
			temp[i+j++]+=c%10;//temp里已存字符
			c=c/10;
		}
	}
	for (int i=temp.size()-1;i>=0;i--)
	{
		if (temp[i]!='0')
			break;
		else
			temp.pop_back();
	}
	reverse_data(temp);//结果?字Á?符¤?串ä?反¤¡ä转Áa
	tempcheng2.result_str=temp;
}

主函数：

int main()
{
       bigcheng2 tempcheng2;
       string a,b;
       cin>>a>>b;
       tempcheng2.a=a;
       tempcheng2.b=b;
       multiply2(tempcheng2);
       cout<<tempcheng2.result_str<<endl;
       system("pause");
       return 0;
}

3.2 移位进位法

移位进位法也是普通的大数相乘算法，其时间复杂度也为O（N²）其基本思路参考博客5，简述如下：

　　按照乘法的计算过程来模拟计算：

　　　　 1 2

　　　　× 3 6

　　 ---------- ---- 其中，上标数字为进位数值。

　　　　　7¹ 2 --- 在这个计算过程中，2×6=12。本位保留2，进位为1.这里是一个简单的计算过程，如果在高位也需要进位的情况下，如何处理？

　　　　3 6

　 -----------

　　　　4¹3 2

其代码优化如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
using namespace std;
void reverse_data( string &data);//字符串反转
void compute_value( string lhs,string rhs,string &result );
void reverse_data( string &data)
{
	char temp = '0';
	int start=0;
	int end=data.size()-1;
	assert( data.size()&& start <= end );
	while ( start < end )
	{
		temp = data[start];
		data[start++] = data[end];
		data[end--] = temp;
	}
}
void compute_value( string lhs,string rhs,string &result )
{
	reverse_data(lhs);
	reverse_data(rhs);
	int i = 0, j = 0, res_i = 0;
	int tmp_i = 0;
	int carry = 0;

	for ( i = 0; i!=lhs.size(); ++i, ++tmp_i )
	{
		res_i = tmp_i;  //在每次计算时，结果存储的位需要增加
		for ( j = 0; j!= rhs.size(); ++j )
		{
			carry += ( result[res_i] - '0' )+(lhs[i] - '0') * (rhs[j] - '0');//此处注意，每次计算并不能保证以前计算结果的进位都消除， 并且以前的计算结果也需考虑。
			result[res_i++] = ( carry % 10 + '0' );
			carry /= 10;
		}
		while (carry)//乘数的一次计算完成，可能存在有的进位没有处理
		{
			result[res_i++] = (carry % 10 + '0');
			carry /= 10;
		}
	}
	for (int i=result.size()-1;i>=0;i--)
	{
		if (result[i]!='0')
			break;
		else
			result.pop_back();
	}
		reverse_data(result);
}
int main()
{
	string a,b;
	cin>>a>>b;
	string result(a.size()+b.size(),'0');
	compute_value(a,b,result);
	cout<<result<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}

3.3运行结果

运行结果如图1、图2所示

图1