一道图论好题

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题目描述

LYK有一张无向图G={V,E}，这张无向图有n个点m条边组成。并且这是一张带权图，不仅有边权还有点权。

LYK给出了一个子图的定义，一张图G’={V’,E’}被称作G的子图，当且仅当

·G’的点集V’包含于G的点集V。

·对于E中的任意两个点a,b∈V’，当(a,b)∈E时，(a,b)一定也属于E’，并且连接这两个点的边的边权是一样的。

LYK给一个子图定义了它的价值，它的价值为：点权之和与边权之和的比。

LYK想找到一个价值最大的非空子图，所以它来找你帮忙啦。

输入格式

第一行两个数n,m表示一张n个点m条边的图。

第二行n个数ai表示点权。

接下来m行每行三个数u,v,z，表示有一条连接u,v的边权为z的无向边。数据保证任意两个点之间最多一条边相连，并且不存在自环。

输出格式

你需要输出这个价值最大的非空子图的价值，由于它是一个浮点数，你只需要保留小数点后两位有效数字。

输入样例

3 3

2 3 4

1 2 3

1 3 4

2 3 5

输出样例

1.67

样例解释

选择1,2两个点，则价值为5/3=1.67。

对于20%的数据n=2

对于50%的数据n<=5

对于100%的数据1<=n,m<=100000，1<=ai,z<=1000。

题解

选择连边，价值为(a+c)/(b+d+e)。

不选，价值为max(a/b,c/d)。

易证max(a/b,c/d)>(a+c)/(b+d+e)。

证明过程：

假设a/b>=c/d，那么a/b-c/d=(ad-bc)/bd>=0，所以ad-bc>=0。

所以a/b-(a+c)/(b+d)=(a(b+d)-b(a+c))/b(b+d)=(ad-bc)/b(b+d)>=0，所以a/b>=(a+c)/(b+d)，所以a/b>(a+c)/(b+d+e)。

因为子图非空，所以只选一条边上的两点一定最优。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100005;
int n,m;
int a[N];
double ans;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    int u,v,w;
    for(i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        ans=max(ans,(double)(a[u]+a[v])/(double)w);
    }
    printf("%.2f
",ans);
    return 0;
}