bzoj4009: [HNOI2015]接水果

Description

风见幽香非常喜欢玩一个叫做 osu!的游戏，其中她最喜欢玩的模式就是接水果。

由于她已经DT FC 了The big black, 她觉得这个游戏太简单了，于是发明了一个更

加难的版本。首先有一个地图，是一棵由 n 个顶点、n-1 条边组成的树（例如图 1

给出的树包含 8 个顶点、7 条边）。这颗树上有 P 个盘子，每个盘子实际上是一条

路径（例如图 1 中顶点 6 到顶点 8 的路径），并且每个盘子还有一个权值。第 i 个

盘子就是顶点a_i到顶点b_i的路径(由于是树，所以从a_i到b_i的路径是唯一的)，

权值为c_i。接下来依次会有Q个水果掉下来，每个水果本质上也是一条路径，第

i 个水果是从顶点 u_i 到顶点v_i 的路径。幽香每次需要选择一个盘子去接当前的水

果：一个盘子能接住一个水果，当且仅当盘子的路径是水果的路径的子路径（例如

图1中从 3到7 的路径是从1到8的路径的子路径）。这里规定:从a 到b的路径与

从b到 a的路径是同一条路径。当然为了提高难度，对于第 i 个水果，你需要选择

能接住它的所有盘子中，权值第 k_i 小的那个盘子，每个盘子可重复使用（没有使用次数

的上限：一个盘子接完一个水果后，后面还可继续接其他水果，只要它是水

果路径的子路径）。幽香认为这个游戏很难，你能轻松解决给她看吗？

Input

第一行三个数 n和P 和Q，表示树的大小和盘子的个数和水果的个数。

接下来n-1 行，每行两个数 a、b，表示树上的a和b 之间有一条边。树中顶点

按1到 n标号。接下来 P 行，每行三个数 a、b、c，表示路径为 a 到 b、权值为 c 的盘子，其

中0≤c≤10^9，a不等于b。

接下来Q行，每行三个数 u、v、k，表示路径为 u到 v的水果，其中 u不等于v，你需要选择第 k小的盘子，

第k 小一定存在。

Output

对于每个果子，输出一行表示选择的盘子的权值。

Sample Input

10 10 10
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
3 2 217394434
10 7 13022269
6 7 283254485
6 8 333042360
4 6 442139372
8 3 225045590
10 4 922205209
10 8 808296330
9 2 486331361
4 9 551176338
1 8 5
3 8 3
3 8 4
1 8 3
4 8 1
2 3 1
2 3 1
2 3 1
2 4 1
1 4 1

Sample Output

442139372
333042360
442139372
283254485
283254485
217394434
217394434
217394434
217394434
217394434

HINT

N,P,Q<=40000。

题解：

首先得到每个节点的dfs序和以这个节点为根的子树中dfs序最大值，分别记作dfn[u]和last[u]

显然，A路径覆盖B路径当且仅当B路径的两个端点都在A路径上

对于每一个盘子(u,v)（假设dfn[u]<dfn[v]），有以下两种情况

1.lca(u,v)!=u时，如图

（虚线表示有一条路径，实线表示一条边，下同）

显然这个盘子能接到的水果(a,b)（假设dfn[a]<dfn[b]，下同）满足dfn[u]<=dfn[a]<=last[u] && dfn[v]<=dfn[b]<=last[v]

2.当lca(u,v)==u时，如图

设w为u在(u,v)这条路径上的儿子节点

则这个盘子能接到的水果(a,b)满足( (1<=a<=dfn[w]-1) || (last[w]+1<=a<=n) ) && (dfn[v]<=b<=last[v])

我们可以将水果(a,b)看成平面上的一个点(dfn[a],dfn[b])，将盘子看成一个或两个矩形

那么问题就转化为对于平面上的一个点，求覆盖它的第k小的矩形

这是一个整体二分的经典题，用扫描线+树状数组搞定

我们先将矩形按权值从小到大排序

然后对于一个点，如果[l,mid]中能覆盖这个点的矩形数不小于k，则说明答案在[l,mid]中

否则在[mid+1,r]，同时k减去覆盖的矩形数

code:

  1 #include<cstdio> 
  2 #include<iostream> 
  3 #include<cmath> 
  4 #include<cstring> 
  5 #include<algorithm> 
  6 #define maxn 80005 
  7 using namespace std; 
  8 char ch; 
  9 bool ok; 
 10 void read(int &x){ 
 11     for (ok=0,ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') ok=1; 
 12     for (x=0;isdigit(ch);x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); 
 13     if (ok) x=-x; 
 14 } 
 15 int n,p,q,a,b,u,v,w,val,lca,k,tot,now[maxn],son[maxn<<1],pre[maxn<<1]; 
 16 int idx,dfn[maxn],last[maxn],fa[maxn][17],dep[maxn]; 
 17 void put(int a,int b){pre[++tot]=now[a],now[a]=tot,son[tot]=b;} 
 18 void dfs(int u){ 
 19     dfn[u]=++idx; 
 20     for (int i=0;fa[u][i];i++) fa[u][i+1]=fa[fa[u][i]][i]; 
 21     for (int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p]) 
 22         if (v!=fa[u][0]) fa[v][0]=u,dep[v]=dep[u]+1,dfs(v); 
 23     last[u]=idx; 
 24 } 
 25 void swim(int &u,int d){for (int i=16;d;i--) if (d>=(1<<i)) d-=(1<<i),u=fa[u][i];} 
 26 int calc_lca(int u,int v){ 
 27     if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v); 
 28     swim(u,dep[u]-dep[v]); 
 29     if (u==v) return u; 
 30     for (int i=16;i>=0;i--) if (fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i]; 
 31     return fa[u][0]; 
 32 } 
 33 int cnt; 
 34 struct Plate{ 
 35     int x,xx,y,yy,val; 
 36 }plate[maxn]; 
 37 bool cmp1(Plate a,Plate b){return a.val<b.val;} 
 38 struct Point{ 
 39     int x,y,k,id; 
 40 }point[maxn],tmpl[maxn],tmpr[maxn]; 
 41 struct bit{ 
 42     #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) 
 43     int v[maxn]; 
 44     void modify(int l,int r,int val){ 
 45         for (int i=l;i<=n;i+=lowbit(i)) v[i]+=val; 
 46         for (int i=r+1;i<=n;i+=lowbit(i)) v[i]-=val; 
 47     } 
 48     int query(int x){ 
 49         int ans=0; 
 50         for (int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=v[i]; 
 51         return ans; 
 52     } 
 53 }T; 
 54 struct Event{ 
 55     int x,y,yy,v,id; 
 56 }event[maxn<<1]; 
 57 bool cmp2(Event a,Event b){ 
 58     if (a.x!=b.x) return a.x<b.x; 
 59     return a.id<b.id; 
 60 } 
 61 int sum[maxn],ans[maxn]; 
 62 void solve(int l,int r,int st,int ed){ 
 63     if (st>ed) return; 
 64     if (l==r){ 
 65         for (int i=st;i<=ed;i++) ans[point[i].id]=plate[l].val; 
 66         return; 
 67     } 
 68     int m=(l+r)>>1,siz=0; 
 69     for (int i=l;i<=m;i++){ 
 70         event[++siz]=(Event){plate[i].x,plate[i].y,plate[i].yy,1,0}; 
 71         event[++siz]=(Event){plate[i].xx,plate[i].y,plate[i].yy,-1,n+1}; 
 72     } 
 73     for (int i=st;i<=ed;i++) event[++siz]=(Event){point[i].x,point[i].y,0,0,i}; 
 74     sort(event+1,event+siz+1,cmp2); 
 75     for (int i=1;i<=siz;i++) if (st<=event[i].id&&event[i].id<=ed) sum[event[i].id]=T.query(event[i].y); 
 76     else T.modify(event[i].y,event[i].yy,event[i].v); 
 77     int a=0,b=0; 
 78     for (int i=st;i<=ed;i++) if (sum[i]>=point[i].k) tmpl[++a]=point[i]; 
 79     else tmpr[++b]=(Point){point[i].x,point[i].y,point[i].k-sum[i],point[i].id}; 
 80     for (int i=st;i<=st+a-1;i++) point[i]=tmpl[i-st+1]; 
 81     for (int i=st+a;i<=ed;i++) point[i]=tmpr[i-st-a+1]; 
 82     solve(l,m,st,st+a-1),solve(m+1,r,st+a,ed); 
 83 } 
 84 int main(){ 
 85     read(n),read(p),read(q); 
 86     for (int i=1;i<n;i++) read(a),read(b),put(a,b),put(b,a); 
 87     dfs(1); 
 88     for (int i=1;i<=p;i++){ 
 89         read(u),read(v),read(val),lca=calc_lca(u,v); 
 90         if (dfn[u]>dfn[v]) swap(u,v); 
 91         if (u!=lca) plate[++cnt]=(Plate){dfn[u],last[u],dfn[v],last[v],val}; 
 92         else{ 
 93             w=v,swim(w,dep[v]-dep[u]-1); 
 94             plate[++cnt]=(Plate){1,dfn[w]-1,dfn[v],last[v],val}; 
 95             if (last[w]+1<=n) plate[++cnt]=(Plate){dfn[v],last[v],last[w]+1,n,val}; 
 96         } 
 97     } 
 98     sort(plate+1,plate+cnt+1,cmp1); 
 99     for (int i=1;i<=q;i++){ 
100         read(u),read(v),read(k); 
101         if (dfn[u]>dfn[v]) swap(u,v); 
102         point[i]=(Point){dfn[u],dfn[v],k,i}; 
103     } 
104     solve(1,cnt,1,q); 
105     for (int i=1;i<=q;i++) printf("%d
",ans[i]); 
106     return 0; 
107 }