同济：004.三角函数（1.1映射与函数）

（4）三角函数（Trigonometric Function）

基本函数	英文	缩写	表达式	语言描述	三角形
正弦函数	sine	sin	a/c	∠A的对边比斜边
余弦函数	cosine	cos	b/c	∠A的邻边比斜边
正切函数	tangent	tan	a/b	∠A的对边比邻边
余切函数	cotangent	cot	b/a	∠A的邻边比对边
正割函数	secant	sec	c/b	∠A的斜边比邻边
余割函数	cosecant	csc	c/a	∠A的斜边比对边

(注：正切函数、余切函数曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法)

基本三角函数关系的速记方法

六边形

如上图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：

  

  

  

关系：

变化规律：

• 正弦值在  随角度增大（减小）而增大（减小），在  随角度增大（减小）而减小（增大）；

• 余弦值在  随角度增大（减小）而增大（减小），在  随角度增大（减小）而减小（增大）；

• 正切值在  随角度增大（减小）而增大（减小）；余切值在  随角度增大（减小）而减小（增大）；

• 正割值在  随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
• 余割值在  随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
• 注：π/2表示弧度=1/4圆弧=90度
• 注2：弧度换算成角度（把π换成180度代入即可）如：π/2=180/2=90

函数图：

 

sinx：奇函数，定义域：一切实数R，值域[-1,1]；周期派；

cosx：偶函数，其它同上

tanx：周期派

cotx：周期派

反三角函数（Inverse Trigonometric Function）

1.sinx反函数（arcsinx）

 

如上图：sin x 不是单调函数，所以它整体没有反函数；

但在 [  -90度,90度 ] 即 [ -π/2,π/2 ]，是单调的，可以求此区间反函数；

y=sin x  => x = arc sin y

arc代表：当前函数的反函数

反函数图：

sinx和arc sin x 关于 y=x 对称

2.cosx反函数：

如图：cosx整体不是单调的，但在0-180 [ 0-π ]度是单调的，值介于[-1,1]，可求此区间反函数

如上图：cosx和其反函数关于y=x对称

3.tanx反函数

如上图：它在（0，π/2）上单调递增至正无穷大

推导值域Rf，定义域Df，过程

 

 对称性：

 

4.cotx反函数

（高数学习手册 P21）

以上四个反三角函数都是有界函数：