Leet Code 4.寻找两个有序数组的中位数

给定两个大小为m和n的有序数组nums1和nums2。请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为O(log(m+n))。

你可以假设nums1和nums2不会同时为空。

题解

解法一

暴力法，即从头到尾找到合并数组的中位数。时间复杂度O(m+n)

解法二

看到log，要自然想到二分法。这是解题的一个关键。

找到第k小的数，来找中位数。我们要找到第(m+n)/2小的数。

每次比较两个数组的[(m+n)/2/2]，较小的前面数字舍去，最后就得到结果了。时间复杂度为O(log(m+n))。

代码

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    int n = nums1.length;
    int m = nums2.length;
    int left = (n + m + 1) / 2;
    int right = (n + m + 2) / 2;
    //将偶数和奇数的情况合并，如果是奇数，会求两次同样的 k 。
    return (getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, left) + getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, right)) * 0.5;  
}
    
    private int getKth(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int k) {
        int len1 = end1 - start1 + 1;
        int len2 = end2 - start2 + 1;
        //让 len1 的长度小于 len2，这样就能保证如果有数组空了，一定是 len1 
        if (len1 > len2) return getKth(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k);
        if (len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];

        if (k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);

        int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
        int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;

        if (nums1[i] > nums2[j]) {
            return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
        }
        else {
            return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
        }
    }

解法三

我们把数组A和数组B分别在i和j进行切割。i的左边和j的左边组成左半部分，i的右边和j的右边组成右半部分。

当总长度为偶数时，我们要保证左半部分的最大值小于等于右半部分的最小值。这样中位数就可以表示为（左半部分的最大值+右半部分的最小值）/2。

当总长度为奇数时，我们要保证左半部分的长度比右半部分长度大1，同时左半部分最大值小于等于右半部分最小值。中位值就是左半部分的最大值。

代码

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
        int m = A.length;
        int n = B.length;
        if (m > n) { 
            return findMedianSortedArrays(B,A); // 保证 m <= n
        }
        int iMin = 0, iMax = m;
        while (iMin <= iMax) {
            int i = (iMin + iMax) / 2;
            int j = (m + n + 1) / 2 - i;
            if (j != 0 && i != m && B[j-1] > A[i]){ // i 需要增大
                iMin = i + 1; 
            }
            else if (i != 0 && j != n && A[i-1] > B[j]) { // i 需要减小
                iMax = i - 1; 
            }
            else { // 达到要求，并且将边界条件列出来单独考虑
                int maxLeft = 0;
                if (i == 0) { maxLeft = B[j-1]; }
                else if (j == 0) { maxLeft = A[i-1]; }
                else { maxLeft = Math.max(A[i-1], B[j-1]); }
                if ( (m + n) % 2 == 1 ) { return maxLeft; } // 奇数的话不需要考虑右半部分

                int minRight = 0;
                if (i == m) { minRight = B[j]; }
                else if (j == n) { minRight = A[i]; }
                else { minRight = Math.min(B[j], A[i]); }

                return (maxLeft + minRight) / 2.0; //如果是偶数的话返回结果
            }
        }
        return 0.0;
    }
}

我是用解法二的思路，即找到第(m + n + 1) / 2 小的数就是中位数。
代码如下：

public class leetcode {
    public static void main(String[] args) {
        int[] A = {1,2,5};
        int[] B = {3,4,5};
        double median = findMedianSortedArrays(A, B);
        System.out.println(median);
    }

    public static double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
        int n = A.length;
        int m = B.length;
        //如果m+n奇数，left=right,如果m+n偶数，left+1=right，两个位置的数相加除二等于中位数
        int left = (m + n + 1) / 2;
        int right = (m + n + 2) / 2;
        double median = (getKth(A, 0, n-1, B, 0, m-1, left) + getKth(A, 0, n-1, B, 0, m-1, right)) /2.0;
        return median;
    }

    //getKth(A,0,n-1,B,0,m-1,left)A数组长度n,B数组长度m，找到第left小的数
    private static int getKth(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int k) {
        int len1 = end1 - start1 + 1;
        int len2 = end2 - start2 + 1;
        if (len1 > len2) return getKth(nums2, start2, end2,nums1, start1, end1, k);
        if (len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];
        //k=1,找最小的数
        if (k == 1) return Math.min(nums1[start1],nums2[start2]);

        int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
        int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;
        //然后比较，递归找出整体第k小的数
        if(nums1[i] > nums2[j]) {
            return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
        }
        else {
            return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
        }
    }
}