游艇租赁最小代价——动态规划求解

问题：江上有6个游艇站，游客可以从任意一个站租赁游艇，并在其下游任意一个站归还游艇，不同站之间的费用不同。

游艇出租站i到j之间的租金为r(i,j)。上下游情况以及各站点之间的费用如下：

图片来源于陈小玉老师的《趣学算法》

思想：假设i到j经过在k停靠有最优情况，那么，原问题就分解为求解  i->k  子问题最优解与  k->j  子问题最优解的情况。

分析：

1.上述指出上游可以到下游中任意一个站规划游艇，那么，只能是序号低的站点到序号高的站点，所以，在租金矩阵中只会存在右三角的部分。

2.上述问题无外乎考虑的是直达还是经过中转然后到达目的站点。

注：我们需要进行以下推论，若存在1，2，3站点，1->3有两种情况，要么1->3，要么1->2->3，要是经过2站点中转，则1->3的花费最小，那么我们就知道了1->3的最佳策略是在2站点进行中转。

那么，继续，存在1，2，3，4站点，1->4的情况就更多了些，可以是1->4，也可以是1->2->4，或者是1->3->4，又或者是1->2->3->4这4中情况，有上述中的假设，1->3的最佳策略是在2站点进行中转，那么用于1->4策略中，1->2->3->4的情况一定优于1->3->4的情况。所以，这就引出了动态规划的核心要点，即原问题的最优解一定包含了子问题的最优解，即1->4(1->3->4)的最优解情况一定包含了1->3的最优解情况，那么，我们在开始要记录了子问题的最优解情况，后续则可以直接使用，

我们开始建立最优值的递归式：

已知我们的数据结构：m[i][j]的值表示两点之间的最短花费，s[i][j]的值表示两点之间的中转节点。

那么，若i==j，则m[i][j]==0；

若j==i+1，则m[i][j]==r[i][j]，即m[i][j]表示两点间的直达代价，那么s[i][j]==0，因为s[i][j]表示两者间的中转点，而两点为直达，所以没有中转点；

若j>i+1，即两点间存在一个或者一个以上的中转点时，m[i][j]==min{m[i][k]+m[k][j]，r[i][j]}

核心思想：假设i到j经过在k停靠有最优情况，那么，原问题就分解为求解  i->k  子问题最优解与  k->j  子问题最优解的情况，逐渐往下找出最小规模子问题的情况。

同时还需要注意一点就是，我们必须求出规模最小时的最优值，然后才能递推出规模较大时的最优值。而规模最小时为两个相邻点的情况，接着三个点，四个点......

但是我们知道i->k的代价，k->j的代价都是最小的（子问题最优用于母问题最优）

而事实上，i->k的最优情况在分析i->j之前我们已经得到，我们直接用就可以，没必要再重新分析。就是比如先以三个点为例，结果1->3的代价中，路径1->2->3的代价是低于路径1->3代价的，那么，我们就会在选择中记录要是有结果1->3的情况，我们就默认选择路径1->2->3。

同理在1->4的结果中，我们会尝试路径1->4,1->2->4,1->2->3->4而不会去尝试1->3->4。而在计算经过节点3进行中转的情况时，我们只需要关注的是3->4之间的代价，而结果1->3的代价已经由路径1->2->3求得。

所以，最后，若假设结果1->4的最佳路径是1->2->3->4，我们只需要知道4的前一节点是3，而不关心3的前一节点是谁，而到了3节点，我们才能发现其前一节点还需要经过2。

接下来进行代码分析：

初始化，我们让m[i][j]=r[i][j]，s[i][j]=0,即将直达情况进行了第一遍记录，后续的比较就是逐次增加中转站点的个数，不断进行比较是经过中转后的代价最优还是直达最优，从而对代价表与中转表进行更新。

接下来，分析超过2个节点的情况，我们加入某个点作为两点间的中转点，看加入后代价是否优于之前，若代价优于直达，更新代价表，并将中转节点编号赋值给r[i][j]。

接下来上代码：

代码主要在函数printShortValue()较难理解，其实就是我们要从最小规模入手。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1024;
int r[N][N],m[N][N],s[N][N];
int n;
int b, t;
void initArray()    //初始化数组
{
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = i+1; j <= n; j++){
            m[i][j] = r[i][j];
            r[i][j] = 0;
        }
    }
}

void calShortValue()    //计算数组中的最优代价情况
{
    for(int num = 3; num <= n; num++){  //num站点的长度，由小到大更新，则长度大的情况可以使用长度小的情况
        for(int i = 1; i <= n-num+1; i++){
            int j = i+num-1;
            for(int k = i+1; k < j; k++){
                if(m[i][k] + m[k][j] < m[i][j]){
                    m[i][j] = m[i][k] + m[k][j];
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

void printShortValue()  //打印数组中最优代价情况
{
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            if(j <= i){
                cout << " ";
            }
            else{
                cout << s[i][j];
            }
            cout << " ";
        }
        cout << "
";
    }
}

void printShortPath(int b, int t)
{
    if(s[b][t]==0){
        cout << "---" << t;
        return;
    }
    printShortPath(b,s[b][t]);
    printShortPath(s[b][t],t);
}

int main()
{
    cout << "请输入站点个数：" << endl;
    cin >> n;
    cout << "请以此输入各站点间的代价：" << endl;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = i+1; j <= n; j++){
            cin >> r[i][j];
        }
    }
    cout << "请输入源站点与目的站点：";
    cin >> b >> t;
    initArray();
    calShortValue();
    printShortValue();
    cout << "两点间的最小代价为：" << m[b][t] <<endl;
    cout << "两点间经过:" << b;
    printShortPath(b,t);
}