/************************************* ---高次同余方程模板BabyStep-GiantStep--- 输入：对于方程A^x=B(mod C),调用BabyStep(A,B,C),(0<=A,B,C<=10^9) 输出：无解放回-1，有解放回最小非负整数x 复杂度：O(C^0.5)，只与C有关,与A,B的大小无关 ************************************/ typedef long long ll; #define HASH_N 100007 struct hashnode { int next; ll key; int j; }HashLink[ HASH_N ]; int hashpre[ HASH_N ],hashcnt; void hash_insert(ll x,ll key,int j) { for(int p=hashpre[x];p!=-1;p=HashLink[p].next) { if(HashLink[p].key==key) return ; } HashLink[ hashcnt ].key = key; HashLink[ hashcnt ].j = j; HashLink[ hashcnt ].next = hashpre[x]; hashpre[x] = hashcnt++; } int hash_get(ll key) { ll x=key%HASH_N; for(int p=hashpre[x];p!=-1;p=HashLink[p].next) { if( HashLink[p].key == key ) return HashLink[p].j; } return -1; } ll gcd(ll a,ll b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } //ax + by = gcd(a,b) //传入固定值a,b.放回 d=gcd(a,b), x , y void extendgcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y) { if(b==0){d=a;x=1;y=0;return;} extendgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); } //Ax=1(mod M) //返回x的范围是[0,M-1] ll GetNi(ll A,ll M) { ll rex=0,rey=0; ll td=0; extendgcd(A,M,td,rex,rey); return (rex%M+M)%M; } //a^b%mod 快速幂 long long Quk_Mul(long long a,long long b,long long mod) { long long qsum=1; while(b) { if(b&1) qsum=(qsum*a)%mod; b>>=1; a=(a*a)%mod; } return qsum; } //测试x较小的情况，必须！ ll firsttest(ll A,ll B,ll C) { ll tmp=1; if(B==1) return 0; for(int i=1;i<100;i++) { tmp = (tmp*A)%C; if(tmp==B) return i; } return -1; } //欧拉函数 返回[1,x-1]中与x互素的数的个数，复杂度n^0.5 ll euler(ll x) { ll i, res=x; for (i = 2; i < (ll)sqrt(x * 1.0) + 1; i++) if(x%i==0) { res = res / i * (i - 1); while (x % i == 0) x /= i; } if (x > 1) res = res / x * (x - 1); return res; } ll BabyStep(ll A,ll B,ll C) { if(0==A || 0==C) return -1; if(C==1) return 0; B = B%C; ll ans = firsttest(A,B,C);//为了防止x比较小的时候 if(ans != -1) return ans; ll D=1; int c=0; ll d; while( (d=gcd(A,C)) != 1 ) { if( B%d !=0 ) return -1;//无解的情况 B /= d; C /= d; D = D*A/d%C; c++; } //得到了 D*A^(x-c)=B (mod C) ，gcd(A,C)=1 , gcd(D,C)=1 ll D_1=GetNi(D,C);//求D的逆元 B = B*D_1%C; //求A^x=B (mod C),然后返回x+c ll m = ceil( sqrt(C+0.0) ); memset(hashpre,-1,sizeof(hashpre)); hashcnt=0; ll hashnum=1; hash_insert(1, 1, 0); for(int i=1;i<m;i++) { hashnum = (hashnum*A)%C; hash_insert(hashnum%HASH_N, hashnum ,i); } ll ol=euler(C); ll mA=Quk_Mul(A, m, C); ll ta=1; ll tmpni = Quk_Mul(mA, ol-1, C); for(int i=0;i<m;i++,ta=ta*tmpni%C) { //解线性同余方程 tx=B*ta (%C) ,ta直接用费马小定理求逆元 ll tx = ta; tx = (tx*B)%C; int j=hash_get(tx); if(j!=-1)//找到解了 { return i*m+j+c; } } return -1; }
其实还是很很正常的解法，这个甚至可以当成一道难一点的数论题目做。
关于详细的解释。
[转自http://blog.csdn.net/auto_ac/article/details/11842695]
题意：求满足a^x=b(mod n)的最小的整数x。
分析：很多地方写到n是素数的时候可以用Baby step,Giant step, 其实研究过Baby step,Giant step算法以后，你会发现 它能解决 “n与a互质”的情况，而并不是单纯的n是素数的情况。如果a与n不是互质的，那么我们需要处理一下原方程，让a与n互质，然后再用Baby step,Giant step解出x即可。
Baby step,Giant step算法思想：对于a与n互质，那么则有a^phi(n)=1(mod n), 对于n是素数phi(n) == n-1, 否则phi(n) < n-1, 所以x的取值只要在0----n-2之中取就可以了。
当n很小时，可以直接枚举，但当n很大时，肯定会超时，Baby step,Giant step就是用了一种O(sqrt(n)*log(n))的方法枚举了所有的0-----n-2。令m = sqrt(n);
我们可以预处理出a^0,a^1,.........a^m,都放入哈希表中, 然后 (a^m)^i+v(哈希表里的其中一个值)就一定是解，每次枚举i(0-----m-1),计算出v,判断v是否出现在哈希表中，如果有就是解。 对于m为什么取sqrt(n)是为了复杂度的平衡，这一点是跟分块算法很相似的。
对于a与n不互质的情况分析：令 t = gcd(a,n)，那么a与n都约去t，当然b也要约去t(不能约去就无解)，约去一个t以后方程就变为 aa*a^(x-1) = bb(mod nn), (其中 aa = a/t bb = b/t nn = n/t) , 这里nn还可能与a不互质，那么我们一直拿出一个新的a对(a, bb, nn)约去t，直到a与nnn....(nnn...表示约去若干次t以后的n)互质。以下用(用三个字母表示约去若干次后,如bbb) 则结果为aa^c*a^(x-c) = bbb(mod nnn), 我们让等式左右分别乘以aa^c关于nnn的逆元 变为a^(x-c) = w (mod nnn) , w =bbb *(aa^c)^(-1)。 a^x = w (mod n)可以用bbb *(aa^c)^(-1)Baby step,Giant step直接求出，如果有解那把未知数+c。
具体看代码中的cal函数。
注意：在以上过程中x有可能<c，所以我们必须每约去一个t就要特判一下当前情况aa 与 bb就说明当前c是解。
哈希表实现看题目时间要求，map太慢，自己手写hash是很快的。