堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。
二叉堆的定义
二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足二个特性：
1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：
由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。
堆的存储
一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。
堆的操作——插入删除
下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。
堆的插入
每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，插入一个新数据时堆的调整代码:
// 新加入i结点 其父结点为(i - 1) / 2 void minHeapFixUp(int a[], int i) { int j, temp; temp = a[i]; j = (i - 1) / 2; //父结点 while (j >= 0 && i != 0) { if (a[j] <= temp) break; a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点 i = j; j = (i - 1) / 2; } a[i] = temp; } //在最小堆中加入新的数据nNum void minHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum) { a[n] = nNum; minHeapFixUp(a, n); }
堆的删除
按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：
// 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2 void minHeapFixDown(int a[], int i, int n) { int j, temp; temp = a[i]; j = 2 * i + 1; while (j < n) { if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的 j++; if (a[j] >= temp) break; a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点 i = j; j = 2 * i + 1; } a[i] = temp; } //在最小堆中删除数 void minHeapDeleteNumber(int a[], int n) { Swap(a[0], a[n - 1]); minHeapFixDown(a, 0, n - 1); }
堆化数组
有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：
很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：
写出堆化数组的代码：
//建立最小堆 void makeMinHeap(int a[], int n) { for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) minHeapFixDown(a, i, n); }
至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。
堆排序
首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。
由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。
void minheapSortToDescendArray(int a[], int n) { for (int i = n - 1; i >= 1; i--) { Swap(a[i], a[0]); minHeapFixDown(a, 0, i); } }
注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。
由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。
1 建立堆化数组 从 n/2 -1 开始，往前，自上而下调整
2 对堆化数组排序 从后往前 ，依次与第0个数交换（每次把第一个数沉到最后然后自上而下调整）
package sort; public class heapSort { public static void main(String[] args) { int[] a = new int[] {5,9,3,14,56,24,29}; makeHeap(a,7); heapSort(a,7); for(int i = 0; i < 7; i++) System.out.println(a[i]); } //堆化数组 建立最小堆 static void makeHeap(int[] a, int n) { for(int i = n/2-1; i >= 0; i--) //从最后一个叶子节点的父节点开始 一个一个往前调整 heapFixDown(a, i, n); } // 对堆化数组排序 从后往前 ，依次与第0个数交换（每次把第一个数沉到最后然后自上而下调整） static void heapSort(int[] a, int n) { for(int i = n-1; i >= 0; i--) { swap(a, 0, i); heapFixDown(a, 0, i); } } static void swap(int[] a, int i, int j) { int temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; } //从下标i往下调整 n为总个数 static void heapFixDown(int[] a, int i, int n) { int temp = a[i]; int j = 2*i + 1; //孩子节点 while(j < n) { if(j+1 < n && a[j+1] > a[j]) //选两个孩子节点最小的 如果是最大堆就选最大的 改为 a[j+1] < a[j] j++; if(a[j] <= temp) //!!!!!!!! 最大堆 a[j] >= temp break; a[i] = a[j]; i = j; j = 2*i + 1; } a[i] = temp; //!!!!! } }