HDU 5396 Expression(DP+组合数)（详解）

题目大意：

给你一个n然后是n个数。然后是n-1个操作符，操作符是插入在两个数字之间的。由于你不同的运算顺序，会产生不同的结果。

比如：

1 + 1 * 2 有两种（1+1）*2 或者 1+（1*2）

1 * 2 * 3 也是两种即使结果是一样的（1*2）*3 或者 1*（2*3）

问这所有不同的组合加起来的和对 1e9+7取余是多少。

这个其实就是区间DP了

dp[i][j] 代表的是区间 i 到 j 的和

枚举dp[i][j] 之间所有的子区间

假如是乘法：

t = dp[i][k] * dp[k+1][j]；

这个其实可以直接算出来的：

假设我们dp[i][k] 里面所有的值是（x1+x2+x3...xn） == dp[i][k]

假设我们dp[k+1][j] 里面所有的值是（y1+y2+y3...yn） == dp[k+1][j]

dp[i][k] * dp[k+1][j] == (x1+x2+...xn) * (y1+y2+y3...yn) == x1*y1+x1y*y2......xn*yn 其实和所有不同结果相乘出来是一样的

假如是加法或者减法：

我们表示阶乘 i为A[i].

t = dp[i][k]*A[j-k-1] + dp[k+1][j]*A[k-i];

其实这里我们想一下。区间 dp[i][k] 需要加上多少次？

我们需要加的次数就是另一半区间的所有组合数，另一半区间有多少种组合方式我们就要加上多少个。

因为他们之间可以相互组成不同的种类。同理另一半也是。

最后的时候我们要乘上一个组合数。

假设组合数为C[i][j].

为什么要乘组合数：

因为假如我们k 分割了两个运算式子【 1+（2*3）】 + 【 1+（3*4）】

虽然说我们左右两边的式子运算顺序已经确定了，但是我们总的运算顺序还是不确定的，比如我们算完（2*3）直接去算（3*4）也是不同的结果

dp[i][j] = dp[i][j] + t*C[j-i-1][k-i]

这个其实就是从总的运算符(j-i-1)（减去了第k个的运算符）个中选取(k-i)个进行运算。

因为我们选取数达到 k-i的时候，另外我们还需要保持左右两边运算的相对顺序。

就比如说：左边有a 个运算符，右边有b个运算符。

我们从 a+b个位置中选取 a位置个放a个的运算符。其余的只能放另一边的的运算符了。因为我们左右两边的相对顺序是不变的。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
#define INF 0x3fffffff
#define maxn 110

typedef long long LL;
const LL MOD = 1e9+7;

LL A[maxn], C[maxn][maxn];
char op[maxn];
LL dp[maxn][maxn];

int main()
{
    int n;
    A[0] = 1;
    for(int i=1; i<=100; i++)
        A[i] = (A[i-1] * i)%MOD;
    C[0][0] = 1;
    for(int i=1; i<=100; i++)
    {
        C[i][0] = 1;
        for(int j=1; j<=i; j++)
            C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j])%MOD;
    }

    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%I64d", &dp[i][i]);
        scanf("%s", op+1);

        for(int L=2; L <= n; L++)
        {
            for(int i=1; i+L-1 <= n; i++)
            {
                int j = i + L - 1;
                dp[i][j] = 0;
                for(int k=i; k<j; k++)
                {
                    LL t;
                    if(op[k] == '*')
                        t = (dp[i][k] * dp[k+1][j])%MOD;
                    if(op[k] == '+')
                        t = (dp[i][k]*A[j-k-1] + dp[k+1][j]*A[k-i])%MOD;
                    if(op[k] == '-')
                        t = (dp[i][k]*A[j-k-1] - dp[k+1][j]*A[k-i])%MOD;

                    dp[i][j] = (dp[i][j] + t * C[j-i-1][k-i])%MOD;
                }
            }
        }

        printf("%I64d
", (dp[1][n]+MOD)%MOD );
    }
    return 0;
}