CF1477E

CF1477E - Nezzar and Tournaments

题目大意

有两队人(a_i,iin[1,n],b_j,jin[1,m])，现在把他们放在一起排成一行(c_i)

顺次给每个人计分，初始(s_0=k)

(s_i=max{0,s_{i-1}+c_i-c_{max{i-1,1}}})

现在要最大化每个(a_i)所在位置的(s_i)之和与 (b_i)所在(s_i)之和的差

支持修改和对于不同(k)查询

分析

考虑(k=0)简单情况

1.若(s_i)不清零，则(s_i=c_i-lst)，其中(lst)表示上一个被清零位置的(c_j)

2.(s_i)清零，则(c_i<lst)

容易发现，(displaystyle s_i=c_i-min_{jleq i}{ c_j})

那么对于含(k)的情况，类似可以得到

(displaystyle s_i=k-c_1+c_i+max{0,c_1-k-min_{jleq i}{c_j}})

假设我们固定了一个(c_1)，现在考虑对于剩下的(a_i,b_j)排出一个最优的排列

容易发现，(k-c_1+c_i)的贡献时固定的，只有前缀最小值会影响答案

我们希望对于(b_i)，前缀最小值较大，(a_i)反之

那么容易发现可以先降序排列(b_j)，再正序排列(a_i)

此时(b_{min})可以贡献给(a_i)的前缀最小值，同时(b_j)的前缀最小值能够取到最大

此时，不妨设(c_1=t)，(min{a_i,b_i}=Min)

在(min{c_j}=c_1)时，(max)里的东西没有贡献，故可以得到

1.对于每个(a_i)，若它没有被放在(c_1)，则贡献(k-t+a_i+max{0,t-k-Min})

2.对于每个(b_i)（不特殊考虑第一个），则贡献(-(k-t+b_i+max{0,t-k-b_i}))（忽略最小值为(t)的情况）

则最终式子为

(displaystyle f(t)=(n-[tin a_i])cdot max{0,t-k-Min}-sum max{0,t-k-b_i}+(m-n)t+C)

其中(C=(n-m)k+sum a_i-sum b_i)

容易发现(f(t))是关于(t)的分段一次函数，根据斜率变化情况分析，极值位置仅(O(1))个

那么对于(a_i)作为(t)和(b_j)作为(t)的情况，分别计算(f(t))的极值位置

极值位置需要一个(k)大查询和( ext{lower_bound})

计算(f(t))需要一个前缀查询

我用( ext{BIT})充当平衡树来维护，复杂度为(O((n+m+q)log 10^6))

const int N=1e6+10,INF=1e9+10;

int n,m,q;
int a[N],b[N];
struct BIT{
	ll s[N];
	int c[N],n;
	void Init(int m){ n=m; }
	void Add(int p,int x,int y){
		p++;
		while(p<N) s[p]+=x,c[p]+=y,p+=p&-p;
	}
	ll Que(int p){
		p++;
		if(p<=0) return 0;
		ll sum=0,cnt=0,t=p-1;
		while(p) sum+=s[p],cnt+=c[p],p-=p&-p;
		return t*cnt-sum;
	}
	int Rank(int p){
		if(p<0) return 0; // 一些奇怪的边界特判 ，防止查询越界
		p++,cmin(p,N-1);
		int res=0;
		while(p) res+=c[p],p-=p&-p;
		return res;
	}
	int Kth(int k){ // 注意一定要避免找到并不存在的数值
		cmin(k,n),cmax(k,1);
		int p=0;
		drep(i,19,0) if(p+(1<<i)<N && c[p+(1<<i)]<k) k-=c[p+=1<<i];
		return p;
	}
	int Prev(int x) { return Kth(Rank(x)); }
	int Next(int x) { return Kth(min(n,Rank(x)+1)); }
} A,B;

ll delta;
void AddA(int x,int k){
	delta+=x*k;
	A.Add(x,x*k,k);
}
void AddB(int x,int k){
	delta-=x*k;
	B.Add(x,x*k,k);
}

ll QueA(ll k){
	ll Min=min(A.Kth(1),B.Kth(1));
	auto F=[&](ll t){ return (n-1)*max(0ll,t-k-Min)-B.Que(t-k)+(m-n)*t; };
	ll ans=max(F(A.Kth(1)),F(A.Kth(n)));
	int p=B.Kth(m-1)+k;
	cmax(ans,F(A.Prev(p))),cmax(ans,F(A.Next(p)));
	return ans;
}

ll QueB(ll k){
	ll Min=min(A.Kth(1),B.Kth(1));
	auto F=[&](ll t){ return n*max(0ll,t-k-Min)-B.Que(t-k)+(m-n)*t; };
	ll ans=max(F(B.Kth(1)),F(B.Kth(m)));
	int p=B.Kth(m)+k;
	cmax(ans,F(B.Prev(p))),cmax(ans,F(B.Next(p)));
	return ans;
}

ll Que(ll k){
	return max(QueA(k),QueB(k))+delta+(n-m)*k;
}

int main(){
	n=rd(),m=rd(),q=rd(),A.Init(n),B.Init(m);
	rep(i,1,n) AddA(a[i]=rd(),1);
	rep(i,1,m) AddB(b[i]=rd(),1);
	while(q--) {
		int opt=rd();
		if(opt==1) {
			int x=rd(),y=rd();
			AddA(a[x],-1),AddA(a[x]=y,1);
		} else if(opt==2) {
			int x=rd(),y=rd();
			AddB(b[x],-1),AddB(b[x]=y,1);
		} else printf("%lld
",Que(rd()));
	}
}