Nimber系列略学习笔记

前言

( ext{Nim+Number=Nimber})

基于我们熟悉的博弈问题( ext{Nim})问题，我们定义了多( ext{Nim})问题的和，即( ext{Nim})和

我们知道( ext{Nim})和就是异或运算，为了构成一个更完整的( ext{Number})域，又引入一种新的运算

即( ext{Nim})积

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定义

对于在([0,2^{2^m}))上的整数，定义两种( ext{Nim})运算，构成一个封闭的域

1.( ext{Nim})和(oplus)，(displaystyle xoplus y= ext{mex}{{aoplus y|a<x}cup{xoplus b|b<y}})

其中对于非负整数集合的( ext{mex})运算即求不在集合中的最小非负整数

也就是( ext{Nim})游戏的"和"

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2.( ext{Nim})积(otimes)

需要先介绍高维( ext{Nim})游戏

对于一维情况：

数轴上整点处有若干黑点(x_i)，每次操作可以选择一个黑点(x_i)，找到(a<x_i)

将线段([a,x_i])两端点的黑白翻转

对于二维情况：

平面上整点处有若干黑点((x_i,y_i))，每次选择一个黑点((x_i,y_i))，找到另一个点((a,b),a<x_i,b<y_i)

将矩形((a,b)-(x_i,y_i))四个顶点的颜色翻转

对于三维情况：

空间上整点处有若干黑点((x_i,y_i,z_i))，每次选择一个黑点((x_i,y_i,z_i))，找到另一个点((a,b,c),a<x_i,b<y_i,c<z_i)

将长方体((a,b,c)-(x_i,y_i,z_i))八个顶点的颜色翻转

(ldots)

( ext{Nim})积是高维( ext{Nim})游戏的降维操作，显然各个维度之间无序，每个黑点之间可以通过( ext{Nim})和相加

由此定义在二维( ext{Nim})游戏上的( ext{Nim})积运算

(xotimes y= ext{mex}{(aotimes y)oplus (xotimes b)oplus(aotimes b)|a<x,b<y})

相较于( ext{Nim})和，( ext{Nim})积运算十分复杂，需要若干性质简化运算

1.基础运算律

(xotimes 1=x)

(xotimes y=yotimes x)

((xotimes y)otimes z=xotimes (yotimes z))

2.(2^{2^n}otimes 2^{2^m}=left{egin{aligned}2^{2^n+2^m} && n e m\ 3cdot 2^{2^n-1} && n=mend{aligned} ight.)

3.(2^{2^n}otimes x=2^{2^n} imes x (x<2^{2^n}))

对于(x,yin [0,2^{2^m}))，利用性质3，用减半的方法优化运算，令(n=2^{m-1})

(x=acdot 2^n+b,y=ccdot 2^n+d,a,b,c,din[0,2^n))

(xotimes y=(aotimes 2^noplus b)otimes (cotimes 2^noplus d))

(=((aotimes c)otimes (3cdot 2^{n-1}))oplus (2^ncdot ((aotimes d)oplus (botimes c)) ) oplus (botimes d))

(=((aotimes c)otimes (2^{n}oplus 2^{n-1}))oplus (2^ncdot ((aotimes d)oplus (botimes c)) ) oplus (botimes d))

(=((aotimes c)otimes 2^{n-1})oplus (2^ncdot ((aotimes c)oplus (aotimes d)oplus (botimes c)) ) oplus (botimes d))

(=((aotimes c)otimes 2^{n-1})oplus (2^ncdot ((aoplus b)otimes (coplus d)oplus (botimes d))) oplus (botimes d))

由此进行暴力递归需要依次计算(aotimes c,(aotimes c)otimes 2^{n-1},botimes d,(aoplus b)otimes (coplus d))

复杂度为(O(4^{m}))，由于(2^{n-1})

对于(2^{32})以内的运算，即(m=5)，看起来已经可以接受?

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应用原根的优化

( ext{Nimber})域内是存在原根的，([0,2^{16}))域内最小的原根是(258)

如果预处理出([0,2^{16}))以内所有数的原根指标和乘法表，即可(O(1))查询([0,2^{16}))任意数的( ext{Nimber})积

由此也可以仅通过一次递归计算([0,2^{32}))域内的( ext{Nimber})积

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