回文自动机 (PAM,Palindrome Automaton)

如果学习了( ext{AC})自动机和后缀自动机(( ext{SAM}))，那么这个冷门算法其实非常简单

约定：原字符串为(S)，长度为(|S|)

结构介绍

自动机节点意义： ( ext{PAM})没有复杂的结构，每个节点对应了一种回文子串，节点个数(leq |S|+2)

自动机的转移：( ext{PAM})和( ext{AC})自动机一样，有失配指针(fail)和匹配数组(nxt)

(fail_i)即是(i)的后缀的最长状态，(i)和(fail_i)的边构成了一棵树，但是这棵树有着两个根节点(?)，分别对应着长度为奇数/偶数的回文子串

每个转移(nxt_{i,j})意味着在当前状态(i)的串两边增加字符(j)

但是由于( ext{PAM})的构造是一个在线算法，所以如果想要像( ext{AC})自动机一样每次转移直接访问(nxt)，需要结束后遍历结构

构造

为了便于访问，设偶数/奇数根分别为(0,1)，每个节点存储一个当前状态的长度(len)

特别的，(len_0=0,len_1=-1)(便于让所有的串都满足(len_{nxt_{i,j}}=len_i+2))

同时让空串对应奇数根节点，把偶数根连向奇数，即(fail_0=1)，这样就只有一个根节点了

为了在线构造方便，( ext{PAM})需要实现一个匹配函数( ext{Find}(x,y))，即在当前(x)状态找到下一个位置(S_y)的匹配状态，如果失配则返回奇数根(1)

int Find(int x,int y){
    while(s[y]!=s[y-len[x]-1]) x=fail[x]; // 如果失配到了x=1,那么必然有s[y]=s[y]
    return x;
}

增加一个节点(S_i=c)

首先找到一个最长的匹配，设当前前缀最长的回文后缀对应的状态为(now)，则直接为(now)匹配(S_i)即可

然后是新建状态(如果当前的回文子串还未出现过)

和( ext{AC})自动机类似，访问(fail)树上最近的匹配即可得到这个点的(fail)

需要注意的点是，因为当前节点可以是根节点，寻找(fail)必须在新建转移(nxt_{now,c})之前进行，否则可能找到的(fail)是自己

void Extend(int i,int c){
    now=Find(now,i);
    if(!nxt[now][c]) {
        fail[++cnt]=nxt[Find(fail[now],i)][c];
		len[nxt[now][c]=cnt]=len[now]+2;
    }
    now=nxt[now][c];
}

模板代码如下：

char s[N];
struct Palindrome_Automaton{
	int len[N],fail[N],nxt[N][26],now,cnt;
	void Init(){ 
        rep(i,0,cnt) memset(nxt,fail[i]=0,104);
		s[now=0]=len[1]=-1;
		fail[0]=fail[1]=cnt=1;
	}
	int Find(int x,int y){ 
		while(s[y-len[x]-1]!=s[y]) x=fail[x];
		return x;
	}
	void Extend(int i,int c){
		now=Find(now,i);
   		if(!nxt[now][c]) {
			fail[++cnt]=nxt[Find(fail[now],i)][c];
			len[nxt[now][c]=cnt]=len[now]+2;
    	}
    	now=nxt[now][c];
	}
};

拓展：回文串与( ext{Border})

关于( ext{Border})

推论1:回文串的( ext{Border})也是回文串

若有回文串(S)的一个( ext{Border} :T)，则(S_{1,|T|}=S_{|S|-|T|+1,|S|}=reverse(S_{1,|T|}))

故(T)也是一个回文串

推论2:遍历回文自动机的(fail)链，能得到当前串的所有( ext{Border})(基于推论1得到)

结合( ext{kmp,AC})与( ext{Border})的关系能够有更好的理解