FWT (快速沃尔什变换)详解以及 K进制FWT

约定：(F'=FWT(F))

卷积的问题，事实上就是要构造(F'G'=(FG)')

我们常见的卷积，是二进制位上的or ,and ,xor

但正式来说，是集合幂指数 上的 并，交，对称差

为了说人话，这里就不带入集合幂指数的概念了

一个常识：(sum_{Tsube S}(-1)^{|T|}=[S=empty])

or 和 and 卷积

ps: 虽然这两个并不是( ext{FWT})，应该叫( ext{FMT})(快速莫比乌斯变换)，但是由于常用的是这3个，所以放到一起

这两种卷积的本质是相同的，所以只解释(or)卷积

or卷积的本质就是高位前缀和

即:(F'_S=sum _{Tsube S}F_T)

正确性：

即(forall S,F'_S cdot G'_S=(Fcup G)'_S)

左边=

(F'_S cdot G'_S=sum _{Tsube S}sum _{Rsube S}F_Tcdot G_R)

右边=

((Fcup G)'_S=sum_{Tsube S}(F cup G)_S)

(=sum_{Tsube S}sum_{A,B,Acup B=S}F_Acdot G_B)

(=sum_{T sube S}sum_{R sube S}F_T cdot G_R)

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卷积实现

其实第一次层循环的意思是枚举子集中和自己不同的位最高是(i)

让(0)向(1)转移即可

void FWT(int n,ll *a){
    for(int i=1;i<n;i<<=1) 
        rep(j,i,n-1) if(j&i) s[j]+=s[j^i];
}
void FWT(int n,ll *a){
    for(int i=1;i<n;i<<1)
        for(int l=0;l<n;l+=i*2)
            for(int j=0;j<l+i;++j) 
                s[j+i]+=s[j];
}

Tips:如果要卡常，可以写成类似( ext{FFT})的形式，因为优化了访问顺序会快一些

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实现逆卷积

把上面的加换成减，这是一个类似容斥的东西

但是因为是反解，所以这个过程我么通常称为子集反演

那么每次(0)向(1)的转移意味着多了一个不同的位置

设(F'_S=sum_{Tsube S}F_T)

实际逆卷积就是(F_S=sum_{Tsube S}(-1)^{|Toplus S|} F'_S)

证明如下：

(Leftrightarrow F_S=sum_{Tsube S}(-1)^{|Toplus S|} sum _{Rin T}F_R)

(Leftrightarrow F_S=sum_{Tsube S}F_Rsum _{Tsube R,Rsube S}(-1)^{|Soplus R|})

(Leftrightarrow F_S=sum_{Tsube S}F_Rsum _{Rsube (Soplus T)}(-1)^{|R|})

带入上面所提到的(sum_{Tsube S}(-1)^{|T|}=[S=empty])，成立

void FWT(int n,ll *a,int f){
    for(int i=1;i<n;i<<=1) 
        rep(j,i,n-1) if(j&i) s[j]+=f*s[j^i];
}
void FWT(int n,ll *a,int f){
    for(int i=1;i<n;i<<1)
        for(int l=0;l<n;l+=i*2)
            for(int j=0;j<l+i;++j) 
                s[j+i]+=f*s[j];
}

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应用 : 子集卷积(可以看luogu)

问题描述：给定(F_S,G_T)，求出(H_{R}=sum_{Scup T=R,Scap T=empty}F_Scdot G_T)，设有(2^n)个元素

我们知道直接枚举的复杂度为(O(3^n))

直接应用or卷积无法保证(Scap T=empty)，但是可以再记录一个占位数量，即把(F,G)按照每一位包含1的数量分开成(n+1)部分，卷积完成之后

应该满足1的个数恰好为两者之和，否则清空

需要(n)次卷积，(n^2)次转移，因此复杂度为(O(n^22^n))，在渐进意义上更优于(O(3^n))

Xor 卷积

这里要用到一个小性质

思路介绍：

我们是要构造一个(F_S ightarrow G_T)的变换，使得该变换满足Xor的性质，且能在较优的时间复杂度内完成，并且能够在较优的时间内完成反演

由于上面的这条式子，考虑可以构造(F'_S=sum_{T}(-1)^{|Scap T|}F_T)，这样((-1)^k)的系数在(mod 2)意义下可以抵消

正确性

即(forall S,F'_S cdot G'_S=(Figoplus G)'_S)

(F'_Scdot G'_S=sum_{T} sum_{R}(-1)^{|Scap T|+|Scap R|}F_Tcdot G_R)

(=sum _Tsum _R(-1)^{|(Tigoplus R)cap S|}F_Tcdot G_R)

显然这个式子与右边相同

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卷积实现

考虑和前面相同的方法，枚举二进制位上最高的(1)

之前由于转移是单向的，所以只需要一次加法，这里由于有了系数同时还是双向的转移，所以要格外注意

转移系数也是比较明显的

(0 ightarrow 0 = 1)

(0 ightarrow 1 = 1)

(1 ightarrow 0 = 1)

(1 ightarrow 1 = -1)

void FWT(int n,ll *a){
    for(int i=1;i<n;i<<=1) {
        rep(j,0,n-1) if(~j&i) {
            ll t=a[j+i];
            a[j+i]=a[j]-t;
            a[j]=a[j]+t;
        }
    }   
}
void FWT(int n,ll *a){
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        for(int l=0;l<n;l+=i*2) {
            for(int j=l;j<l+i;++j){
                ll t=a[j+i];
                a[j+i]=a[j]-t;
                a[j]+=t;
            }
        }
    }
}

实现逆卷积

考虑再卷一次

(F''_S=sum_Tsum_R(-1)^{|Scap R|+|Tcap R|}F_T)

(=sum_T sum_R (-1)^{|(Sigoplus T)cap R|}F_T)

(ecause sum_T (-1)^{|Scap T|}=sum_{Tsube S}(-1)^{|T|}2^{|U|-|S|}=[S=empty]2^{|U|-|S|})(其中(U)是全集)

( herefore F''_S=sum_S2^{|U|}F_S)

所以逆卷积就是再卷一遍，最后除去(n)即可

void FWT(int n,ll *a,int f){
    for(int i=1;i<n;i<<=1) {
        rep(j,0,n-1) if(~j&i) {
            ll t=a[j+i];
            a[j+i]=a[j]-t;
            a[j]=a[j]+t;
        }
    }   
    if(f==-1) rep(i,0,n-1) a[i]/=n;
}
void FWT(int n,ll *a,int f){
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        for(int l=0;l<n;l+=i*2) {
            for(int j=l;j<l+i;++j){
                ll t=a[j+i];
                a[j+i]=a[j]-t;
                a[j]+=t;
            }
        }
    }
    if(f==-1) for(int i=0;i<n;++i) a[i]/=n;
}

和上面一样的，可以写成类似( ext{FFT})的形式卡常

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拓展 K - FWT

实际上学习了这个拓展能让你更好地理解( ext{FWT})

不妨考虑(n)个维度的情况，每个维度是一个(0,1,cdots k-1)中的数

由于(k)进制下不好用集合描述，因此考虑用一个向量(vec{V}=lbrace V_0,V_1,cdots,V_{n-1} brace,V_iin[0,k-1])表示

一个多项式可以具象地用(0,1,cdots,k^n-1)这个(k^n)个位置上的系数表示

( ext{and,or})卷积在(k)进制下可以拓展为按位取(min,max)，这个直接累前缀和就可以了，不作赘述

而(k)进制下的( ext{xor})可以扩展为两个向量列的取模加法

(vec{A}+vec{B}=vec{C},C_i=(A_i+B_i)mod k)

也可以描述为不进位的(k)进制数加法

其实用( ext{K-FWT})称呼这个似乎不是很形象，更好的可以称之为( ext{n-DFT})

也就是说( ext{K-FWT})实际上就是在(n)个维度上分别做大小为(k)的循环卷积，使用一种结合( ext{FWT-DFT})的方法(因此需要用到(k)次单位根(omega_k))

卷积构造

原多项式(F)向卷积多项式(F')的转换系数为([x^A]F ightarrow [x^B]F':omega_k^{Acdot B})

其中(Acdot B)为向量内积，即(sum A_icdot B_i)

从中也可以很好地看到( ext{xor})卷积的影子

实现方法上，可以依次枚举(0,1,cdots,n-1)每一位，将除了这一位上都相同的数取出来

按照这一位上的值做一次( ext{DFT})

需要(n)位枚举，每次枚举需要做(k^{n-1})次(k^2)的( ext{DFT})，因而复杂度为(O(nk^{n+1}))

对于(k)比较大的情况，如果(k=2^t)可以直接用( ext{FFT/NTT})，否则还可以参考这个

可以优化到(O(nk^nlog k))

逆卷积

当然是换成( ext{IDFT})，最后全部除掉(k^n)

正确性上，如果你对于( ext{IDFT})的原理(单位根反演) 有所了解，就能发现

只有所有位置上都相同的情况才会转移出(k^n)的系数

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int w[20]; // 单位根的幂次
void K_FWT(int *F,int n,int f){ // 这个n实际上是上面叙述中的n^k
    static int t[20];
    for(int i=1;i<n;i*=k){
        for(int l=0;l<n;l+=i*k){
            for(int j=l;j<l+i;++j){
                for(int a=0;a<k;++a) 
                    for(int b=t[a]=0;b<k;++b) 
                        t[a]=(t[a]+1ll*F[j+b*i]%P*w[b*(k+f*a)%k])%P;
                for(reg int a=0;a<k;++a) F[j+a*i]=t[a];
            }
        }
    }
	if(f==-1) {
        ll base=qpow(n);
        rep(i,0,n-1) F[i]=F[i]*base%P;
    }
}