L1和L2正则化

 

一、损失函数的l1、l2正则化

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作 ℓ1​-norm 和ℓ2​-norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项即为L2正则化项

一般回归分析中ω表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

• L1正则化是指权值向量 ω 中各个元素的绝对值之和，通常表示为
• L2正则化是指权值向量 ω 中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为

 一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python的机器学习包sklearn中用 α 表示，一些文章也用 λ 表示。这个系数需要用户指定。

L1正则化和L2正则化的作用：

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择的关系

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系

二、L1和L2正则化的理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合

假设有如下带L1正则化的损失函数：

其中 J₀  是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α 是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J 是带有绝对值符号的函数，因此 J 是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 J₀  后添加L1正则化项时，相当于对 J₀ 做了一个约束。

令则J=J₀ +L，此时我们的任务变成在 L 约束下求出J₀ 取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值 和 ，此时L=。对于梯度下降法，求 J₀ 的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数LLL也可以在的二维平面上画出来。如下图

图中等值线是J0J_0J0​的等值线，黑色方形是LLL函数的图形。

 

这个函数画出来就是一个方框

在图中，当J0 ​等值线与 L 图形首次相交的地方就是最优解。上图中 J0 与 L 在 L 的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是

可以直观想象，因为 L 函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0 与这些角接触的机率会远大于与 L 其它部位接触的机率（这是很直觉的想象，突出的角比直线的边离等值线更近些），而在这些角上，会有很多权值等于0（因为角就在坐标轴上），

这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数 α ，可以控制 L 图形的大小。α 越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α 越大，L 的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值

中的ω可以取到很小的值

类似地，假设有如下带L2正则化的损失函数：

 

 二维平面下L2正则化的函数图形是个圆（绝对值的平方和，是个圆），与方形相比，被磨去了棱角。因此 J0 与 L 相交时使得 ω1 或 ω2 等于 0 的机率小了许多（这个也是一个很直观的想象），这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因，因为不太可能出现多数 ω 都为0的情况

为什么梯度下降的等值线与正则化函数第一次交点是最优解

评论中有人问到过这个问题，这是带约束的最优化问题。这应该是在大一的高等数学就学到知识点，因为这里要用到拉格朗日乘子。如果有这样的问题，就需要复习一下高等数学了。这里有一个比较详细的数学讲解，可以参考：带约束的最优化问题。

L2正则化和过拟合的关系

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』