Description
传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。
Input
仅含一行，两个正整数 N, P。
Output
仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。
设f[i]表示1到i满足任意相邻3项不单调且前两项递增的排列数，边界条件f[0]=f[1]=1
由于对称性，前/末两项递增/减的方案数相同
考虑转移，枚举i+1放置的位置，若i+1前有j个数，i+1后有i-j个数，则1到i分到i+1两侧方案数为C(i,j)
左侧j个数排列方式有f[j]种，右侧i-j个数排列方式有i-j种
于是有
f[i+1]=(1/2)*Σ f[j]*f[n-j]*C(i,j) ， j=1..i ，i>1
ans[i]=2*f[i](i>1)
ans[1]=1
由于p不一定是奇数，要预处理C(k,2k)/2 mod p
#include<cstdio> int n,p; inline void inc(int&a,int b){ a+=b; if(a>=p)a-=p; } int c[4210]; int f[4210]={1,1}; int c2[4210]; int ps[4210],isnp[4210]={1,1},t[4210],pp=0,mp[4210]={1,1}; inline int power(int a,int n){ int v=1; for(;n;n>>=1){ if(n&1)v=v*1ll*a%p; a=a*1ll*a%p; } return v; } inline void mul(int x,int a){ while(x>1){ t[mp[x]]+=a; x/=mp[x]; } } int cal(){ int v=1; for(int i=0;i<pp;i++){ if(t[ps[i]])v=v*1ll*power(ps[i],t[ps[i]])%p; } return v; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&p); if(n==1){ printf("%d",1%p); return 0; } for(int i=2;i<=n;i++){ if(!isnp[i])mp[i]=ps[pp++]=i; for(int j=0;j<pp&&i*ps[j]<=n;j++){ isnp[i*ps[j]]=1; if(i%ps[j]){ mp[i*ps[j]]=ps[j]; }else{ mp[i*ps[j]]=mp[i]; break; } } } mul(2,-1); for(int i=2;i<=n;i+=2){ mul(i,1); mul(i-1,1); mul(i>>1,-2); c2[i]=cal(); } c[0]=1; for(int i=1;i<n;i++){ for(int j=n;j;j--)inc(c[j],c[j-1]); for(int j=0;j<i+1>>1;j++){ inc(f[i+1],1ll*f[j]*f[i-j]%p*c[j]%p); } if(i+1&1){ inc(f[i+1],1ll*c2[i]*f[i>>1]%p*f[i>>1]%p); } } printf("%d",f[n]*2%p); return 0; }