关于最短路、负环、差分约束系统的一点笔记

最短路

“可以”没有环，最多(|V|-1)条边

有负环则不存在最短路

会形成最短路径树

算法

Dijkstra 贪心，当(d_u)是最小时要满足之后(d_u)不会更小，不能处理负权边
Bellman-Ford 迭代n-1轮，用边松弛
spfa 队列优化的Bellman-Ford

最短路的线性规划形式

最大化 (d_i)

满足

三角不等式 $d_v le d_u + w(u,v), $
(d_s=0)

说明：上述约束对应了无穷组解。最短路求的是满足约束的最大值。因为三角不等式要求取等号时w(u,v)是最短路上的边。

应用

差分约束系统

非DAG上DP

一般使用spfa或者缩点后dp

应为dijkstra有贪心策略的限制

负环

将所有点入队，且(d_i=0)

负环只看不等约束，不看初始值

算法

Bellman-Ford 常数小
spfa 判断 1. 入队次数>=n 2.最短路长度>=n
spfa-dfs 没多大意思，轻松被卡

应用

01分数规划

代码

见最后

差分约束系统

旧

和最短路的线性规划形式类似的一类线性规划问题

也是需要初值的，对应d[s]=0

最短路

最大化

有负环则无解

图不连通无关任意解

最长路

最小化

有正环则无解

图不连通无关任意解

当然也可以转化成最短路

附录：

判负环的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 2005, M = 3005;

inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(c<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9') {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
	return x * f;
}

int n, m;
struct edge {int v, ne, w, u;} e[M<<1];
int cnt, h[N];
inline void ins(int u, int v, int w) {
	e[++cnt] = (edge) {v, h[u], w, u}; h[u] = cnt;
}

int d[N], cou[N];
bool bellman_ford() {
	for(int i=1; i<=n; i++) d[i] = cou[i] = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int i=1; i<=cnt; i++) {
			int u = e[i].u, v = e[i].v; //printf("hi %d %d  %d %d
", u, v, d[u], d[v]);
			if(d[v] > d[u] + e[i].w) {
				d[v] = d[u] + e[i].w;
				cou[v] = cou[u] + 1;
				if(cou[v] >= n) return false;
				if(i == n) return false;
			}
		}
	}
	return true;
}
int main() {
	freopen("in", "r", stdin);
	int T = read();
	while(T--) {
		cnt = 0; memset(h, 0, sizeof(h));

		n = read(); m = read();
		for(int i=1; i<=m; i++) {
			int u = read(), v = read(), w = read();
			if(w < 0) ins(u, v, w);
			else ins(u, v, w), ins(v, u, w);
		}
		puts(bellman_ford() ? "N0" : "YE5");
	}
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 2005, M = 3005;

inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(c<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9') {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
	return x * f;
}

int n, m;
struct edge {int v, ne, w;} e[M<<1];
int cnt, h[N];
inline void ins(int u, int v, int w) {
	e[++cnt] = (edge) {v, h[u], w}; h[u] = cnt;
}
int d[N], cou[N], inq[N], cinq[N];
int q[N], head, tail;
inline void lop(int &x) {if(x==N) x=1;}
bool spfa() {
	head = tail = 1;
	for(int i=1; i<=n; i++) d[i] = cou[i] = 0, inq[i] = cinq[i] = 1, q[tail++] = i;
	while(head != tail) {
		int u = q[head++]; lop(head); inq[u] = 0;
		for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
			int v = e[i].v;
			if(d[v] > d[u] + e[i].w) {
				d[v] = d[u] + e[i].w;
				cou[v] = cou[u] + 1;
				if(cou[v] >= n) return false;
				if(!inq[v]) {
					q[tail++] = v; lop(tail); inq[v] = 1; 
					if(++cinq[v] >= n) return false; 
				}
			}
		}
	}
	return true;
}

int main() {
	freopen("in", "r", stdin);
	int T = read();
	while(T--) {
		cnt = 0; memset(h, 0, sizeof(h));

		n = read(); m = read();
		for(int i=1; i<=m; i++) {
			int u = read(), v = read(), w = read();
			if(w < 0) ins(u, v, w);
			else ins(u, v, w), ins(v, u, w);
		}
		puts(spfa() ? "N0" : "YE5");
	}
}