最小相位系统

0. 若非特别说明,本文中的最小相位系统总是因果且稳定的;

1. 最小相位系统指所有零点和极点都在单位圆内的系统;

2. 非最小相位系统可表示为最小相位系统和全通系统的级联(于是全通系统不是最小相位系统);

3. 将非最小相位系统在单位圆外的零点反射到其共轭倒数位置,即得相应的最小相位系统;

5. 于是,与上一步得到的最小相位系统级联的全通系统就有如下组成:

    零点:H(z)位于单位圆外的全部零点,以得到最小相位系统中缺乏的那些零点;

    极点:与反射过来的共轭倒数零点相抵消的极点,以抵消那些反射过来的零点。

    再考虑到其模为1,与最小相位系统级联的全通系统就是完全确定的。

6. 最小相位系统存在的意义是,其逆系统是因果且稳定的;但非最小相位系统则不是这样(系统在单位圆外的零点,在其逆系统中将成为单位圆外极点)。因此,对于一个非最小相位系统,为了求得其“广义”上的逆系统,可以将该系统分解为最小相位系统和全通系统,然后求最小相位系统的逆系统。这样得到的逆系统和原系统级联后,幅度响应满足逆系统要求,但相位响应则不行。

7. 一个全通系统的连续相位曲线总是负值,因此将最小相位系统与全通系统级联总是增加相位的滞后。所以我们把最小相位系统叫做最小相位系统:实际上应该叫最小相位滞后系统。最小相位系统同时也是最小群延迟系统、最小能量延迟系统。

8. 最小相位系统相位与幅值之间的对应关系是唯一的。以连续一阶系统jωτ+1为例,画出其近似bode图,幅值在1/τ转折,相位在0.1/τ和10/τ转折,于是一阶系统只需有幅值或相位图中其一,就可画出另一。由此我们也可推断出,对任何连续系统,幅值和相位的关系:幅值斜率20db/10oct,对应相位90°;幅值斜率20$n$db/oct,对应相位90°$n$;反之亦然。在幅值斜率转折频率点前后,相位转折。仍以连续一阶系统为例,幅值在频率点1/τ之前斜率为0,在之后为-20db/10oct;对应相位起始为0,在1/τ前后(0.1τ~10τ)转折,终值为-90°。

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