可分离变量一阶微分方程
如果方程能分离变量写成P(x)dx=Q(y)dy的形式，那么这个方程的解法就很直观：直接两端积分。
齐次一阶微分方程
可写为dy/dx=P(y/x)。这样的方程用变量代换：u=y/x，那么y=ux，dy/dx=d(ux)/dx=xdu/dx。
代入方程，就有xdu/dx=P(u)，(1/x)dx=[1/(P(u)-u)]dy，这是一个可分离变量微分方程。
线性一阶微分方程
dy/dx+P(x)y=Q(x)
这个方程对y是一阶线性的（只有y的一阶导数且不含有P(x,y)或Q(x,y)）。为了解以上的微分方程，我们观察下左式：什么样的运算能够出现dy/dx+P(x)y这种形式（同时出现y'、y和加号）？
……Mmm，我们想到了函数积的导数：v(x)y(x)：(vy)'=vy'+v'y
于是我们要构造一个v(x)：
v(x)dy/dx+v(x)P(x)y=v(x)Q(x)
左侧简写为vy'+vPy，可以看出这个v(x)要满足（对比(vy)'）：
vy'+vPy=vy'+v'y
即vP=v'
=> (1/v)v'=P
=> (1/v)dv/dx=P
=> (1/v)dv=Pdx
这是一个可分离变量的微分方程，于是我们就可解出v了……
齐次解、特解和通解
因为齐次解总是使得方程右边等于零，所以y(通解)=y(特解+齐次解)=y(特解)+y(齐次解)=y(特解)。
红色字体部分利用了微分运算的线性性质。
3.