今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何？
解此类问题有通用的手段。此处就以孙子问题为例叙述解法和原理。
设所求的数为N，那么：
N%3 = 2
N%5 = 3
N%7 = 2
1. 我们先找一个数N1，使其满足：
N1%3 = 2
-且-
N1是5和7的公倍数。
35就可满足要求。
2. 再找一个数N2，使其满足：
N2％5 = 3
-且-
N2是3和7的公倍数。
63可满足要求。
3. 最后找一个数N3，使其满足：
N3%7 = 2
- 且 -
N3是3和5的公倍数。
30可满足要求。
4. 满足要求的一个数为：N=N1+N2+N3=128
5. 原理：
1）N1满足模3余2，N2，N3是3的倍数，所以N1+N2+N3仍然满足模3余2
2）N2满足模5余3，N1，N3是5的倍数，所以N1+N2+N3仍然满足模5余3
3）N3满足模7余2，N1，N2是7的倍数，所以N1+N2+N3仍然满足模5余2
4）综上，N1+N2+N3是满足条件的一个数
6. 显然满足条件的数有无穷个。在N上加或减3，5，7的公倍数所得仍然满足条件。
满足条件的最小数为23。
7. 由此可以扩展出一些小学数学问题的证明。例如，满足什么条件的数可以被3整除？
我们都知道答案，但如何证明？
－－证明方法就是，证明如下定理：
一个数的所有位的数字加起来所得的数与该数模3同余。
8. 同余
如果a%x == b%x，就说a和b模x同余，或写作 a ≡ b (mod x)
若 a ≡ b (mod x)，c ≡ d (mod x)，那么有以下一些性质：
a^n ≡ b^n (mod x)
a+c ≡ b+d (mod x)
ac ≡ bd (mod x)