洛谷 P2467 地精部落解题报告

P2467 [SDOI2010]地精部落

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为(N)的山脉(H)可分为从左到右的(N)段，每段有一个独一无二的高度(H_i)，其中(H_i)是1到(N)之间的正整数。

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。

类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。

地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。

地精们希望这(N)段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

现在你希望知道，长度为(N)的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉(A)和(B)不同当且仅当存在一个(i)，使得(A_i≠B_i)。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入输出格式

输入格式：

goblin.in仅含一行，两个正整数(N),(P)。

输出格式：

输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对(P)取余之后的结果。

【数据规模和约定】

对于20%的数据，满足(N≤10)；

对于40%的数据，满足(N≤18)；

对于70%的数据，满足(N≤550)；

对于100%的数据，满足(3≤N≤4200,P≤10e9)。

简化一下题目，对于长度为(n)的只由(1)~(n)组成的波动数列，求它有多少种组合方式。

波动数列感性理解一下，即是锯齿状大概。

我们需要用波动数列这样两个性质来帮助我们求解。

对于数值为(j)和(j-1)的两个数，如果它们在位置上不相邻，我们交换它们的位置后，原数列仍然是波动数列。
对于波动数列(1)~(i),用(i+1)减去每个位置上的数，得到的仍是波动数列。（就是把数列翻过来了emmmm）

基于以上两个性质，令(dp[i][j])代表当前数列(1)~(i)，第一个数(j)为峰值时的方案数。

则转移为
(dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][i-1+1-(j-1)])

(dp[i][j-1])即为两者不相邻的情况，这时方案数就是峰顶为(j-1)时的方案数

(dp[i-1][i-1+1-(j-1)])为两者相邻的情况，即从长度为(i-1)的，以(j-1)为峰顶的数列，翻转后转移过来。（相当于接在了前面）

由性质2，翻转后的方案数是不会发生改变的，当然，把每个数加上1也是。

我们可以拿滚动数组优化一下空间。

code:

#include <cstdio>
const int N=4210;
int dp[2][N],n,p,ans=0;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    dp[0][2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
        for(int j=2;j<=i;j++)
            dp[i&1][j]=(dp[(i-1)&1][i-j+1]+dp[i&1][j-1])%p;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans=(ans+dp[n&1][i])%p;
    printf("%d
",(ans<<1)%p);
    return 0;
}