「NOI2016」循环之美
对于小数(frac{a}{b})，如果它在(k)进制下被统计，需要满足要求并且不重复。
不重复我们确保这个分数是最简分数即((a,b)=1)
满足要求需要满足第一位的余数在后面仍然出现，第一位余数是(amod b)，后面第(x)位的余数实际上是(a imes k^xmod b)
所以我们需要满足
[aequiv a imes k^xpmod b
]
有解
因为((a,b)=1)，所以
[k^xequiv 1pmod b
]
若((k,b)=1)，那么由欧拉定理，有解(x=varphi(x))
否则由于(k imes k^{x-1}-yb=1)无整数解解，所以原式无解
于是我们需要统计的即为
[sum_{i=1}^msum_{j=1}^n[(i,k)=1][(i,j)=1]
]
推式子
[egin{aligned}
&sum_{i=1}^msum_{j=1}^n[(i,k)=1][(i,j)=1]\
=&sum_{i=1}^m[(i,k)=1]sum_{j=1}^nsum_{d=1}^{min(i,j)}mu(d)[d|iland d|j]\
=&sum_{d=1}^{min(n,m)}mu(d)lfloorfrac{n}{d}
floorsum_{i=1}^m[(i,k)=1land d|i]\
=&sum_{d=1}^{min(n,m)}mu(d)lfloorfrac{n}{d}
floorsum_{i=1}^{lfloorfrac{m}{d}
floor}[(di,k)=1]\
=&sum_{d=1}^{min(n,m)}mu(d)[(d,k)=1]lfloorfrac{n}{d}
floorsum_{i=1}^{lfloorfrac{m}{d}
floor}[(i,k)=1]\
end{aligned}
]
我们知道((a,b)=(amod b,b))
然后本题的(k)很小，于是我们可以预处理出
[is(i)=[(i,k)=1]\
f(i)=sum_{j=1}^iis(j)
]
然后上面的式子为
[sum_{d=1}^{min(n,m)}mu(d)is(dmod k)lfloorfrac{n}{d}
floor(lfloorfrac{m}{dk}
floor f(k)+f(lfloorfrac{m}{d}
floor mod k))
]
于是我们可以在(O(klog k+n))的时间内解决问题，可以得到(84)分的好成绩
注意我们设
[F(n)=lfloorfrac{n}{k}
floor f(k)+f(nmod k)
]
那么原式为
[sum_{d=1}^{min(n,m)}mu(d)[(d,k)=1]lfloorfrac{n}{d}
floor F(lfloorfrac{m}{d}
floor)
]
后面两项显然可以整除分块，考虑求出前面两项的前缀和
设
[g(n,k)=sum_{d=1}^nmu(d)[(d,k)=1]
]
考虑推一下这个式子
[egin{aligned}
g(n,k)=&sum_{d=1}^nmu(d)[(d,k)=1]\
=&sum_{d=1}^nmu(d)sum_{p=1}^{min(d,k)}mu(p)[p|dland p|k]\
=&sum_{p|k}mu(p)sum_{p|d}^nmu(d)\
=&sum_{p|k}mu(p)sum_{d=1}^{lfloorfrac{n}{p}
floor}mu(dp)\
mathbb{because of}& [mu(dp)
ot=0]=[(d,p)=1],mathbb{so}\
g(n,k)=&sum_{p|k}mu(p)sum_{d=1}^{lfloorfrac{n}{p}
floor}mu(dp)[(d,p)=1]\
=&sum_{p|k}mu^2(p)sum_{d=1}^{lfloorfrac{n}{p}
floor}mu(d)[(d,p)=1]\
=&sum_{p|k}mu^2(p)g(lfloorfrac{n}{p}
floor,p)
end{aligned}
]
边界
[g(n,1)=sum_{d=1}^nmu(d),g(0,k)=0
]
前面的一个杜教筛一下即可
复杂度真不会算了...
Code:
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <map>
#include <algorithm>
#define ll long long
using std::min;
const int SIZE=1<<21;
char ibuf[SIZE],*iS,*iT;
//#define gc() (iS==iT?(iT=(iS=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin),iS==iT?EOF:*iS++):*iS++)
#define gc() getchar()
template <class T>
void read(T &x)
{
x=0;char c=gc();
while(!isdigit(c)) c=gc();
while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=gc();
}
const int N=5e6+1;
int mu[N],pri[N],ispri[N],fmu[N],cnt,toki[2020],aya[2020];
void init()
{
fmu[1]=mu[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(!ispri[i])
{
pri[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++)
{
ispri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
else break;
}
fmu[i]=fmu[i-1]+mu[i];
}
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
std::map <std::pair<int,int>,int> saki;
int g(int x,int k)
{
//if(x<=1) return n;
if((k==1&&x<N)||(!x)) return fmu[x];
std::pair<int,int> now=std::make_pair(x,k);
if(saki[now]) return saki[now];
int ret=0;
if(k==1)
{
ret=1;
for(int l=2,r;l<=x;l=r+1)
{
r=x/(x/l);
ret-=g(x/l,k)*(r+1-l);
}
}
else
{
for(int i=1;i*i<=k;i++)
{
if(k%i) continue;
if(mu[i]) ret+=g(x/i,i);
if(i*i!=k&&mu[k/i]) ret+=g(x/(k/i),k/i);
}
}
return saki[now]=ret;
}
int n,m,k;
int F(int x){return (x/k)*toki[k]+toki[x%k];}
int main()
{
init();
read(n),read(m),read(k);
for(int i=1;i<=k;i++)
toki[i]=toki[i-1]+(gcd(k,i)==1);
ll las=0,now,ans=0;
for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
{
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=1ll*((now=g(r,k))-las)*(n/l)*F(m/l);
las=now;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}
2019.5.30