【BZOJ3309】DZY Loves Math 解题报告

【BZOJ3309】DZY Loves Math

Description

对于正整数(n)，定义(f(n))为(n)所含质因子的最大幂指数。例如(f(1960)=f(2^3×5^1×7^2)=3),(f(10007)=1),(f(1)=0)。

给定正整数(a,b)，求(sumlimits_{a_i=1}sumlimits_{b_j=1}f(gcd(i,j)))。

Input

第一行一个数(T)，表示询问数。

接下来(T)行，每行两个数(a,b)，表示一个询问。

Output

对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。

HINT

(T≤10000)
(1≤a,b≤10^7)

推式子可以得到

[sum_{T=1}^{min(a,b)}lfloorfrac{a}{T} floorlfloorfrac{b}{T} floorsum_{d|T}f(d)mu(frac{T}{d}) ]

设(g(T)=sum_{d|T}f(d)mu(frac{T}{d}))，想一下卷积发现没啥用，然后我就放弃了。

浪费了一次打表的大好机会...打表可以发现(g)只有(01)两种值，但是没什么显然的性质，于是我们可以暴力按意义分类讨论取(0)或者(1)

然后我们讨论一下，设(p)代表质数

(g(p)=1)
然后在计算式中令(frac{T}{d})的幂全为(0)或(1)，这样(mu)才能产生贡献。

这样的话可以发现(f(d))只有两种取值(f(T))与(f(T-1))，暴力讨论这两种取值。

可以得到式子(g(T)=-sum_{d|x&&f(d) ot=f(x)}mu(frac{x}{d}))

然后继续讨论可能取的(01)情况，发现如果幂全相等，可以取((-1)^{k+1})，(k)为约数个数

否则就取(0)

线筛的时候维护一下最小质因子的幂数和最小质因子的幂

Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
const int N=1e7;
using std::min;
int pri[N+10],ispri[N+10],a[N+10],b[N+10],cnt;
ll f[N+10],ans,n,m;
void init()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            b[i]=pri[++cnt]=i;
            f[i]=a[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                a[i*pri[j]]=a[i]+1;
                b[i*pri[j]]=b[i]*pri[j];
                if(i==b[i]) f[i*pri[j]]=1;
                else f[i*pri[j]]=a[i/b[i]]==a[i]+1?-f[i/b[i]]:0;
                break;
            }
            else
            {
                a[i*pri[j]]=1,b[i*pri[j]]=pri[j];
                f[i*pri[j]]=a[i]==1?-f[i]:0;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) f[i]+=f[i-1];
}
int main()
{
    init();int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ans=0;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        for(ll l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),(m/(m/l)));
            ans+=(n/l)*(m/l)*(f[r]-f[l-1]);
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

2018.12.15