背包问题（01背包、完全背包、部分背包）

之前写过一篇博客，这次看了下背包九讲，主要看的是部分背包的优化解法，转化的很巧妙，时间复杂度可以达到O(n*∑log(amount[i])*V)，就是把原先每个背包的数量分成一堆一堆的。

例如，假如物品i有14件，那么我们可以将它转化成若干个01背包问题，这几个子问题的背包价值和代价为1*price,1*cost,2*price,2*cost,4*price,4*cost, 7*price, 7*cost,这样我们总可以将1-13之内的数用这几个数来表示，一般的对于一个amout，我们只需要找到最大k，使得amout-2^(k+1) > 0. 这种优化方法，可以简单的这么理解，就是对于每一个新的子01背包，我们要么选它要么不选它，dp[w]中记录的总是满足条件的最大价值，这样我们总能遍历到任何一个1-13内的状态，使得dp[w]达到最大。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int m = 100;
const int INF = -1000;
int dp[m];
int maxn(int a, int b)
{
	return a > b ? a : b;
}
/*
如果要求正好装满，则初始化未INF,否则初始化未0
*/
void init()
{
    for(int k = 0; k <= 100; k++)
		dp[k] = INF; //
	dp[0]=0;
}
int zeroOnePack(int price, int cost, int W)
{
	for(int w = W; w >= 1; --w)
	{
		if(w >= cost)
			dp[w] = maxn(price + dp[w - cost], dp[w]);
	}
	return dp[W];
}
int CompletePack(int price, int cost, int W)
{
    for(int w = 1; w <= W; ++w)
	{
		if(w >= cost)
			dp[w] = maxn(price+dp[w-cost], dp[w]);
	}
	return dp[W];
}
int multiPack(int price, int cost, int amount, int W)
{
	if(amount*cost >= W)
		CompletePack(price, cost, W);
	else
	{
		int k = 1;
		while(k < amount)
		{
			zeroOnePack(k*price, k*cost, W);
			amount -= k;
			k *= 2;
		}
		zeroOnePack(amount*price, amount*cost, W);
	}
	cout<<dp[W]<<endl;
	return dp[W];
}
int main()
{
	int price[5] = {1,2,3};
	int cost[5] = {5,2,4};
	int amount[5] = {2,2,2};
	init();
	for(int i = 0; i < 3; ++i)
	    multiPack(price[i], cost[i], amount[i], 5);
	return 0;
}