1.单点更新
说明
单点更新，区间求和（你问我单点求和？？你就不会把区间长度设为0啊？）
• sum[]为线段树，需要开辟四倍的元素数量的空间。
• build()为建树操作
• update()为更新操作
• query()为查询操作
时间复杂度：O(nlogn)
使用方法
- build(1, n); 建立一个叶子节点为n个的线段树
- update(pos, val, 1, n); 更新树中下标为pos的叶子节点值增加val
- query(l, r, 1, n); 查询[l ,r]区间值之和
Tips
• 请注意update的目的是增减还是替换，根据情况修改update函数和pushup函数
• 建出来的树为空树，默认每个点值都为0，需要自行将值update上去，或者修改build中sum[rt]=0;为输入操作scanf(“%d”,sum+rt);
模版
// 有注释版
const int maxn=2005+5;
#define lson l,m,rt<<1 //预定子左树
#define rson m+1,r,rt<<1|1 //预定右子树
int sum[maxn<<2];//表示节点，需要开到最大区间的四倍
void pushup(int rt){
//对于编号为rt的节点，他的左右节点分别为rt<<1和rt<<1|1
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}
//造树
void build(int l,int r,int rt=1){
//建树操作，生成一个区间为l~r的完全二叉树
//如果到底，则线段长度为0，表示一个点，输入该点的值
if (l==r) {
sum[rt]=0;
return;
}
//准备子树
int m=(l+r)>>1;
//对当前节点建立子树
build(lson);
build(rson);
//由底向上求和
pushup(rt);
}
//更新点和包含点的枝
void update(int pos,int val,int l,int r,int rt=1){
//pos为更新的位置 val为增加的值，正则加，负则减
//l r为区间的两个端点值
//触底，为一个点的时候，该节点值更新
if (l==r) {
sum[rt]+=val;
return;
}
int m = ( l + r ) >> 1;
if (pos<=m) //pos在左子树的情况下，对左子树进行递归
update(pos, val, lson);
else //pos在右子树的情况下，对右子树进行递归
update(pos, val, rson);
//更新包含该点的一系列区间的值
pushup(rt);
}
//查询点或区间
int query(int L,int R,int l,int r,int rt=1){
// L~R为被查询子区间 l~r为“当前”树的全区间
if (L<=l&&r<=R) //子区间包含“当前”树全区间
return sum[rt]; //返回该节点包含的值
int m=(l+r)>>1;
int res=0;
if (L<=m) //左端点在左子树内
res+=query(L, R, lson);
if (R>m) //右端点在右子树内
res+=query(L, R, rson);
return res;
}
2.区间更新
说明
区间更新，区间求和（你问我单点求和？？你就不会把区间长度设为0啊？）
• sum[]为线段树，需要开辟四倍的元素数量的空间。
• build()为建树操作
• update()为更新操作
• query()为查询操作
时间复杂度：O(nlogn)
使用方法
- build(1, n); 建立一个叶子节点为n个的线段树
- update(l, r, val, 1, n); 更新线段树中[l, r]区间每个值都增加val
- query(l, r, 1, n); 查询[l ,r]区间值之和
Tips
• 请注意update的目的是增减还是替换，根据情况修改update函数和pushup函数
• 建出来的树为空树，默认每个点值都为0，需要自行将值update上去，或者修改build中sum[rt]=0;为输入操作scanf(“%d”,sum+rt);
模版
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int maxn = 100005;
int add[maxn<<2],sum[maxn<<2];
void PushUp(int rt)
{
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}
void PushDown(int rt,int m)
{
if (add[rt])
{
add[rt<<1] += add[rt];
add[rt<<1|1] += add[rt];
sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));
sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);
add[rt] = 0;
}
}
void build(int l,int r,int rt=1)
{
add[rt] = 0;
if (l == r)
{
sum[rt]=0;
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
build(lson);
build(rson);
PushUp(rt);
}
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt=1)
{
if (L <= l && r <= R)
{
add[rt] += c;
sum[rt] += c * (r - l + 1);
return ;
}
PushDown(rt , r - l + 1);
int m = (l + r) >> 1;
if (L <= m) update(L , R , c , lson);
if (m < R) update(L , R , c , rson);
PushUp(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt=1)
{
if (L <= l && r <= R)
{
return sum[rt];
}
PushDown(rt , r - l + 1);
int m = (l + r) >> 1;
int ret = 0;
if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
if (m < R) ret += query(L , R , rson);
return ret;
}
3.RMQ
说明
RMQ：Range Minimum(Maximum) Query
• sum[]为线段树，需要开辟四倍的元素数量的空间。
• build()为建树操作
• update()为更新操作
• query()为查询操作
使用方法
- 根据情况修改RMQ的宏定义
- build(1, n); 建立一个叶子节点为n个的线段树
- update(pos, val, 1, n); 修改树中下标为pos的叶子节点值为val
- query(l, r, 1, n); 查询[l ,r]区间中的RMQ
Tips
• 建出来的树为空树，默认每个点值都为0，需要自行将值update上去，或者修改build中sum[rt]=0;为输入操作scanf(“%d”,sum+rt);
• RMQ为宏定义，请根据情况自行修改为max或者min，对应修改query中的res为-INF或者INF
const int maxn=2005+5;
#define RMQ max
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
int sum[maxn<<2]={};
void pushup(int rt){
sum[rt]=RMQ(sum[rt<<1],sum[rt<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int rt=1){
if (l==r){
sum[rt]=0;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
build(lson);
build(rson);
pushup(rt);
}
void update(int pos,int val,int l,int r,int rt=1){
if (l==r) {
sum[rt]=val;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
if (pos<=m) update(pos, val, lson);
else update(pos, val, rson);
pushup(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt=1){
if (L<=l&&r<=R) return sum[rt];
int m=(l+r)>>1;
int res=-INF; //防负数的坑
if (L<=m) res=RMQ(res,query(L, R, lson));
if (R>m) res=RMQ(res,query(L, R, rson));
return res;
}