算法【排序一】

算法系统学习首篇之排序

排序在商业数据处理和现代科学计算中的重要性不言而喻。它能够应用于日常事物处理、组合优化、天体物理学、分子动力学、语言学、基因组学、天气预报和其他相关领域。 20世纪科学与工程领域的十大算法之一就是一种排序算法——快速排序。

在标准库中已经实现排序函数，再学习排序算法仍有重要实际意义。再重温排序算法之前，我并没有意识到。

  1. 对排序算法的分析将有助于全面理解比较算法性能的方法。
  2. 类似的算法思想也能有效解决其他类型问题。
  3. 排序算法常常是解决其他问题的第一步。

初级排序（选择排序，冒泡排序，插入排序）

  • 选择排序

    这是一种最简单的排序算法： 首先，找到数组中最小的那个元素，其次，将它和数组的第一个元素交换位置。其次，在除去第一个元素剩下的元素中找到最小的元素，将它与数组的第二个元素交换位置。如此往复，知道整个数组排序。该方法不断地选择剩余元素中的最小者。

    排序算法类模板的基本API接口包括：排序函数sort()，比较函数less(), 交换函数exch(),判断有序性函数isSorted()以及打印输出函数print().

#include <iostream>
using namespace std;

template <class T> class SortMethod
{
public:
    SortMethod(){}
    ~SortMethod(){}
    static bool isSortd(T a[] ,int N)
    {
        for(int i = 1;i < N; i++)
            if(less(a[i],a[i-1]))
                return false;

        return true;
    }

    static void print(T a[], int N)
    {
        for (int i = 0 ; i < N; i++)
        {
            cout<< a[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    static void select_sort(T a[], int N); // 选择排序
    static void bubble_sort(T a[], int N); // 冒泡排序
    static void insert_sort(T a[], int N); // 插入排序

private:
    static bool less(T a, T b)
    {
        return a < b;
    }

    static void exch(T a[], int i, int j)
    {
        T t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }

};

// 选择排序
template<class T> void SortMethod<T>::select_sort(T a[], int N)
{
    for (int i = 0 ; i < N; i++)
    {
        int min = i;
        for(int j = i+1; j < N; j++)
            if(less(a[j],a[min])) min = j;

        exch(a,i,min);
    }
}
    调用方法：

    char ch[12] = {'S','O','R','T','E','X','A','M','P','L','E'};
    SortMethod<char>::print(ch,11);
    SortMethod<char>::select_sort(ch,11);
    bool sorted = SortMethod<char>::isSortd(ch,11);
    SortMethod<char>::print(ch,11);
    cout<<"sorted: "<<sorted<<endl;

    int a[10] = {8,9,1,7,2,3,5,4,6,0};
    SortMethod<int>::print(a,10);
    SortMethod<int>::select_sort(a,10);
    sorted = SortMethod<int>::isSortd(a,10);
    SortMethod<int>::print(a,10);
    cout<<"sorted: "<<sorted<<endl;
    输出 ：
    S O R T E X A M P L E
    A E E L M O P R S T X
    sorted: 1
    8 9 1 7 2 3 5 4 6 0
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    sorted: 1
    请按任意键继续. . .

结论： 对于长度为N的数组，选择排序大约需要 N2/2 N 2 / 2 次比较和 N N 次交换。

  • 冒泡排序

    不同于选择排序，冒泡排序每次比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。
    对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。在这一点，最后的元素应该会是最大的数。
    针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。这个算法的名字由来是因为越大的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端，故名。

// 冒泡排序
template<class T> void SortMethod<T>::bubble_sort(T a[], int N)
{
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for(int j = 1; j < N-i; j++)
        {
            if(less(a[j],a[j-1]))
                exch(a,j-1,j);
        }
    }
}

结论： 对于长度为N的数组，冒泡排序大约需要N2/2次比较，最坏情况下，同样需要 N2/2 N 2 / 2 次交换。

  • 插入排序

    在玩扑克牌的时候，我们一般都是使用的插入排序思想。即将每一张牌插入到其他已经有序的牌中的适当位置。在计算机实现中，为了要给新插入的元素腾出位置，需要将比待插入元素大的其他所有元素都向右移动一位。


// 插入排序
template<class T> void SortMethod<T>::insert_sort(T a[], int N)
{
    for(int i = 1; i < N; i++ )
    {
        // 将a[i] 插入到 a[i-1], a[i-2],a[i-3],...之中
        for(int j = i; j > 0 && less(a[j],a[j-1]); j--)
        {
            exch(a,j,j-1); // 细细体会，很有意思的过程
        }
    }
}

结论： 对于随机排列的长度为N的不重复数组，平均情况下插入排序需要~ N2/4 N 2 / 4 次比较以及~ N2/4 N 2 / 4 次的交换。最坏情况下与冒泡法相同。

  • 希尔排序

    希尔排序是一种基于插入排序的快速的排序算法。对于大规模的乱序数组插入排序很慢，因为它只会交换相邻的元素。希尔排序为了加快速度简单地改进了插入排序，交换不相邻的元素以对数组的局部进行排序，最最终用插入排序将局部有序的数组排序。
    希尔排序的思想是是数组中任意间隔为h的元素都是有序的。这样的数组成为h有序数组。比如说，h=3, 则 0 3 6 … 3*n 等位置的元素是有序的， 1 4 7 … 3*n+1 位置元素是有序的， 2 5 8 … 3*n+2等位置的元素同样也是有序的。一个h有序数组实际上是有h个有序的子数组组成的数组。
    希尔排序更高效的原因是它权衡了子数组的规模和有序性。透彻理解希尔排序的性能至今任然是一项挑战。我们先看算法实现，再来讨论。

// 希尔排序
template<class T> void SortMethod<T>::shell_sort(T a[], int N)
{
    int h = 1;
    while(h < N/3) h = 3*h + 1;
    while(h >= 1)
    {
        // 将数组变为h有序
        for(int i = h; i < N; i++)
        {
            // 将a[i] 插入到a[i-h],a[i-2*h],a[i-3*h],...之中
            for (int j = i; j >= h && less(a[j],a[j-h]); j -= h) 
                exch(a,j,j-h);
        }

        h = h/3;
    }
}

在这里，1，4，13，40，121，364，1093，…. 称为递增数列。
为什么这里选择这样的递增数列？如何选择更好的递增序列？ 回答这个问题并不简单。 有很多论文研究了各种不同的递增序列，但都无法证明某个序列是“最好的”。其不仅取决于h的值，还取决于h之间的数学性质，如公因子等。一般情况下也选择递增数列如 N/2 N/4 N/8 … 1 ( 逆序排列 )。 在实际应用中，这两种递增数列基本够用。

希尔排序的重要意义是突破了排序算法复杂度为 O(N2) O ( N 2 ) 的限制，迈出了寻找更高效排序算法的重要一步。

结论： 使用递增数列1，4，13，40，121，364… ( h = 3*h + 1) 的希尔排序所需要的比较次数不会超过N的若干倍乘以递增序列的长度（即while 循环次数）。

算法性能比较

这里给出比较两种算法性能的具体实现，科学方法就是要通过实践来检验真理。理论上的算法效率是否在实际使用中得到确认?

// 比较方法类
class SortCompare
{
public:

    static double timeRandomData(string sortType, int N, int T)
    {
        double total = 0.0;
        int *a = new int[N];

        assert(a != NULL);

        std::default_random_engine generator;  
        std::uniform_int_distribution<int> dis(0,500);

        for(int t =0 ; t< T; t++) // 重复T次
        {
            for (int i =0 ; i < N; i++) // 数组长度N
            {
                a[i] = dis(generator);
            }

            total += time(sortType,a,N);
        }

        delete []a;

        return total;
    }

private:

    static double time(string sortType, int a[], int N)
    {
        DWORD start_time,stop_time;
        start_time  = GetTickCount();

        if(sortType.compare("select") == 0 )
            SortMethod<int>::select_sort(a,N);
        else if(sortType.compare("bubble") == 0)
            SortMethod<int>::bubble_sort(a,N);
        else if(sortType.compare("insert") == 0 )
            SortMethod<int>::insert_sort(a,N);
        else if(sortType.compare("shell") == 0 )
            SortMethod<int>::shell_sort(a,N);

        stop_time = GetTickCount();

        return (stop_time - start_time)*1.0/1000;
    }
};

// 调用

    int N = 10000;
    int T = 100;
    string type1 = "shell";
    string type2 = "insert";
    double t1 = SortCompare::timeRandomData(type1,N,T);
    double t2 = SortCompare::timeRandomData(type2,N,T);

    cout<<"For "<< N << " random Ints "<<endl;
    cout<<type1<<" cost :"<<t1<<" s and " <<type2 <<" costs :"<<t2<<" s."<<endl;

运行结果：

For 10000 random Ints
shell cost :826 ms and insert costs :112280 ms.
请按任意键继续…

大胆使用大数组测试希尔排序。

初级排序结束。

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