数值分析之拉格朗日插值算法详解

数值分析之拉格朗日插值方法详解

数据点通用格式

$x_{0}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$y_{0}$	$y_{1}$	$y_{2}$	$\dots$	$y_{n}$

n=1，两个数据点

当 $n = 1$ ，自由度为1，一个未知数表示直线拟合
数据点两个

$x_{0}$	$x_{1}$
$y_{0}$	$y_{1}$

系数方程如下：
$l_{0} (x) = \frac{x - x_{1}}{x_{0} - x_{1}}$
$l_{1} (x) = \frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}}$
拟合多项式为： $P_{1} (x) = y_{0} l_{0} (x) + y_{1} l_{1} (x)$

n=2，三个数据点

当 $n = 2$ ，自由度为2，2个未知数表示二次多项式拟合
数据点3个

$x_{0}$	$x_{1}$	$x_{2}$
$y_{0}$	$y_{1}$	$y_{2}$

系数方程如下：
$l_{0} (x) = \frac{(x - x_{1}) (x - x_{2})}{(x_{0} - x_{1}) (x_{0} - x_{2})}$
$l_{1} (x) = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{2})}{(x_{1} - x_{0}) (x_{1} - x_{2})}$
$l_{2} (x) = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{1})}{(x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1})}$
拟合多项式为： $P_{1} (x) = y_{0} l_{0} (x) + y_{1} l_{1} (x) + y_{2} l_{2} (x)$

n=3，四个数据点

当 $n = 3$ ，自由度为3，3个未知数表示3次多项式拟合
数据点4个

$x_{0}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$
$y_{0}$	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$

系数方程如下：
$l_{0} (x) = \frac{(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})}{(x_{0} - x_{1}) (x_{0} - x_{2}) (x_{0} - x_{3})}$
$l_{1} (x) = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{2}) (x - x_{3})}{(x_{1} - x_{0}) (x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3})}$
$l_{2} (x) = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{1}) (x - x_{3})}{(x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1}) (x_{2} - x_{3})}$
$l_{3} (x) = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{1}) (x - x_{2})}{(x_{3} - x_{0}) (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2})}$
拟合多项式为： $P_{1} (x) = y_{0} l_{0} (x) + y_{1} l_{1} (x) + y_{2} l_{2} (x) + y_{3} l_{3} (x)$

$n = i$ ，通项公式

数据点共 $n + 1$ 个

$x_{0}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{i - 1}$	$x_{i}$	$x_{i + 1}$	$\dots$	$x_{n}$
$y_{0}$	$y_{1}$	$y_{2}$	$\dots$	$y_{i - 1}$	$y_{i}$	$y_{i + 1}$	$\dots$	$x_{n}$

系数方程：

\begin{array}{rcl} l_{i} (x) & = & \frac{(x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots (x - x_{i - 1}) (x - x_{i + 1}) \dots (x - x_{n})}{(x_{i} - x_{0}) (x_{i} - x_{1}) \dots (x_{i} - x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i + 1}) \dots (x_{i} - x_{n})} \\ = & \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{i} - x_{j}} . \end{array}

其中 $i = 0, 1, \dots, n$ 。
拟合多项式为：

P_{n} (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} l_{i} (x)

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