[BZOJ2127]happiness(最小割)

题面

高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。

分析

我们考虑用最小割解决问题.先把所有收益相加,再减去损失的代价。

每个人建一个点,如果这个点在最小割方案中被分到(S)集表示选文科,分到(T)集表示选理科.然后对于一对相邻的人(i,j)的建图如下,我们需要设置边权,使得割的大小与割的实际意义对应((i ightarrow j)流量为(c),(j ightarrow i)流量为(d).注意(i,j)之间是一条双向边,实际上(c=d),只是为了下面描述方便拆成两个)

设(A_i)表示(i)选文科的价值,(B_i)表示(i)选理科的价值,(C_{i,j})表示(i,j)同选文科的价值,(D_{i,j})表示(i,j)同选理科

两个人同文科,割去e,f,割的大小为损失的收益,即两人同理科的收益,那么有(e+f=B_i+B_j+D_{i,j} (1))
两个人同理科,割去a,b,割的大小为损失的收益,即两人同文的收益,那么有(a+b=A_i+A_j+C_{i,j} (2))
(i)文(j)理,割去b,c,e,割的大小为损失的收益,即(i)理(j)文和同文同理的收益,那么有(b+c+e=B_i+A_j+C_{i,j}+D_{i,j} (3))
(i)理(j)文,割去a,d,f割的大小为损失的收益,即(i)文(j)理和同文同理的收益,那么有(a+d+f=B_i+A_j+C_{i,j}+D_{i,j} (4))

((3)+(4)-(1)-(2))得(c+d=C_{i,j}+D_{i,j}),又因为 (c=d),则(c=d=frac{C_{i,j}+D_{i,j}}{2})

回代,得到四个方程

[egin{cases} e+f=B_i+B_j+D_{i,j} (1) \ a+b=A_i+A_j+C_{i,j} (2) \ b+f=B_i+A_j+frac{C_{i,j}+D_{i,j}}{2} (3) \ a+f=B_i+A_j+frac{C_{i,j}+D_{i,j}}{2} (4) end{cases} ]

虽然该方程没有唯一解,但是观察得到如果我们令(a=A_i+frac{C_i,j}{2})就会出现很对称的结果

[egin{cases} a=A_i+frac{C_i,j}{2} \ b=A_j+frac{C_i,j}{2} \ c=frac{C_{i,j}+D_{i,j}}{2} \ d=frac{C_{i,j}+D_{i,j}}{2} \ e= B_i+frac{D_i,j}{2} \ f=B_j+frac{D_i,j}{2}end{cases} ]

也就是说,(S)到(i)的边的容量等于(i)选文科的收益加上与(i)相邻的所有点(j)共同选文科的收益(这里实际上把所有相邻的点的边合并在一起).(i)到(T)的边的容量等于(i)选理科的收益加上与(i)相邻的所有点(j)共同选理科的收益.(i)和每个相邻点之间连双向边,容量为(i,j)共同选文科和共同选理科的收益之和的一半.最后用总收益减最小割就是答案

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define maxc 205
#define maxm 300005
#define maxn 300005
#define INF 1e10
using namespace std;
int n,m;
double wen[maxc][maxc];
double li[maxc][maxc]; 
inline int get_id(int x,int y){
	return (x-1)*m+y;
}

struct edge{
    int from;
    int to;
    int next;
}E[maxm<<1];
double flow[maxm<<1];
int head[maxn];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,double w){
    sz++;
    E[sz].from=u;
    E[sz].to=v;
    E[sz].next=head[u];
    flow[sz]=w;
    head[u]=sz;
    
    sz++;
    E[sz].from=v;
    E[sz].to=u;
    E[sz].next=head[v];
    flow[sz]=w;
    head[v]=sz;
}

int deep[maxn];
queue<int>q;
int bfs(int s,int t){
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(s);
    for(int i=0;i<=n*m+1;i++) deep[i]=0;
    deep[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
            int y=E[i].to;
            if(flow[i]&&!deep[y]){
                deep[y]=deep[x]+1;
                q.push(y);
                if(y==t) return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

double dfs(int x,int t,double minf){
    if(x==t) return minf;
    double rest=minf,k;
    for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
        int y=E[i].to;
        if(flow[i]&&deep[y]==deep[x]+1){
            k=dfs(y,t,min(rest,flow[i]));
            if(k==0) deep[y]=0;
            flow[i]-=k;
            flow[i^1]+=k;
            rest-=k;
            if(rest==0) return minf;
        }
    }
    return minf-rest;
}

double dinic(int s,int t){
    double maxflow=0,nowflow=0;
    while(bfs(s,t)){
        while(nowflow=dfs(s,t,INF)) maxflow+=nowflow; 
    }
    return maxflow;
}

int main(){
#ifdef INPUT_FILE
	freopen("input.txt","r",stdin);
#endif
	int s,t;
	double x;
	double sum=0;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	s=0;
	t=n*m+1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%lf",&wen[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%lf",&li[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%lf",&x);
			wen[i][j]+=x/2;
			wen[i+1][j]+=x/2;
			add_edge(get_id(i,j),get_id(i+1,j),x/2);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%lf",&x);
			li[i][j]+=x/2;
			li[i+1][j]+=x/2;
			add_edge(get_id(i,j),get_id(i+1,j),x/2);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m-1;j++){
			scanf("%lf",&x);
			wen[i][j]+=x/2;
			wen[i][j+1]+=x/2;
			add_edge(get_id(i,j),get_id(i,j+1),x/2);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m-1;j++){
			scanf("%lf",&x);
			li[i][j]+=x/2;
			li[i][j+1]+=x/2;
			add_edge(get_id(i,j),get_id(i,j+1),x/2);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			add_edge(s,get_id(i,j),wen[i][j]);
			add_edge(get_id(i,j),t,li[i][j]);
			sum+=wen[i][j];
			sum+=li[i][j];
		}
	}
	printf("%d",int(sum-dinic(s,t)));
}