从多种角度看[BZOJ 1061] [NOI 2008]志愿者招募(费用流)

从多种角度看[BZOJ 1061] [NOI 2008]志愿者招募(费用流)

题面

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

分析

感觉这个问题已经成为一个经典套路了。先把问题形式化:

给出一条直线上的(n)个点，(m)个区间([l_i,r_i])。选一些区间覆盖这条直线，使得每个点至少被覆盖(a_i)次，每个区间可以被用来覆盖多次,每覆盖一次的代价为(c_i).求最小代价。

接下来我们将从多个角度建图:

从流量守恒的角度理解

这里先给出建图方式,记((u,v,w,c))表示从(u)到(v)连一条容量为(w),费用为(c)的有向边:

  1. 建立源汇点(s,t),连边((s,1,+infty,0), (n+1,t,+infty,0))
  2. 对于每个区间([l_i,r_i]),连边((l_i,r_i+1,+infty,c_i))
  3. 对于每个点(i),连边((i,i+1,infty-a_i))

对于每个区间([l_i,r_i]),连边((l_i,r_i+1,+infty,c_i))不难理解，+1是为了把覆盖点转化成覆盖边。比如(l_i=r_i)时区间([l_i,r_i])正好就覆盖了(a_{l_i})所在的那条边。

如何理解(infty-a_i)？我们考虑到覆盖点(i)的每个区间，每个区间的使用次数加起来(geq a_i).也就是说，跨过边((i,i+1))的那些边的流量之和至少为(a_i).

flow.JPG

现在我们要保证上面的条件。注意到我们从源点流出的流量为(+infty),流入汇点的流量也是(+infty)。对于一条边((i,i+1,infty-a_i,0))，它最多只能流掉(infty-a_i)的流量。而为了保证流量守恒，跨过它的边至少要流掉剩下(a_i)的流量，否则总流量就不是(infty)了。这样的话，跨过((i,i+1))的边的流量之和就至少为(a_i)了。满足了上面的条件。

如果不好理解可以看图，假如a[2]=3,那么(2,3)上面的两条边就需要流掉3的流量，否则流量就不守恒了。

从线性规划的角度理解

对于一些不太好直接想到建图的问题，我们可以数学建模，列出方程然后用线性规划求解。这样的好处是思维量较小，只要做代数变换就可以建图，而不用考虑建图的实际意义。

对于每个区间，我们设它的覆盖次数为(x_i),那么对于每个点(i),我们有:

[p_i=sum_{l_j leq i leq r_j} x_j geq a_i ]

把不等式转化为等式,添加辅助变量(y_i(y_i geq 0))

[p_i=sum_{l_j leq i leq r_j} x_j -y_i = a_i ]

用(p_i)减去(p_{i-1})(特别地，我们规定(p_0=0,p_{n+1}=0)),得到:

(p_i-p_{i-1}=sum_{l_j leq i leq r_j} x_j - sum_{l_j leq i-1 leq r_j}x_j -y_i+y_{i-1}=a_i-a_{i-1})

我们会发现，(x_j)的系数为正当且仅当区间([l_j,r_j])的左端点在(i).因为这样第二个和式里一定没有(x_j)

​ (x_j)的系数为负当且仅当([l_j,r_j])的右端点在(i-1),因为这样第一个和式里一定没有(x_j)

​ 其他的(x_j)均被消掉

这样的话，每个变量都只在两个式子中出现了,而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0 .

我们举个例子来理解

例子来自byvoid巨佬的博客

一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

种类 1 2 3 4 5
时间 [1,2] [1,1] [2,3] [3,3] [3,4]
费用 3 4 3 5 6

根据我们上面的描述，可以列出式子

[egin{cases} p_1= x_1 + x_2 - y_1 = 4 \ p_2 = x_1 + x_3 - y_2 = 2\ p_3 = x_3 + x_4 +x_5 - y_3 =5\ p_4 = x_5 - y_4 = 3 end{cases} ]

然后做差

[egin{cases} p_1 -p_0 = x_1 + x_2 - y_1 = 4 \ p_2 - p_1 = x_3 - x_2 -y_2 +y_1 = -2 \ p_3 - p_2 = x_4 + x_5 - x_1 - y_3 + y_2 =3 \p_4 - p_3 = - x_3 - x_4 + y_3 - y_4 = -2 \p_5 - p_4 = - x_5 + y_4 = -3 \ end{cases} ]

容易发现,每个变量都只在两个式子中出现了,而且一次系数为正，一次系数为负。所有等式右边的常数之和为0 .

我们最终的目的是在上面方程组的约束条件下最优化目标函数 (sum_{j=1}^m x_j c_j)。这里当然可以用单纯形算法解决，但是本人太弱不会，于是考虑建图跑网路流解决。

根据网络流中每个点流量平衡的思想，我们可以把(-x_i)看成从点(i)流出(x_i)的流量，(+x_i)看成流入(x_i)的流量。等式为0就代表流量平衡。

  • 每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

  • 如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

  • 如果一个变量(x_i)在第j个等式中出现为(x_i)，在第k个等式中出现为(-x_i)，且在目标函数里的系数为(c_i),从顶点j向顶点k连接一条容量为(+infin)，费用为(c_i)的有向边。

  • 如果一个变量(y_i)在第j个等式中出现为(y_i)，在第k个等式中出现为(-y_i)，且在目标函数里没有出现，从顶点j向顶点k连接一条容量为(+infin)，权值为0的有向边。

具体到这个问题上，最终的建图方案是:

  1. 建立源点S=0,汇点T=n+2

  2. 若(a_i-a_{i-1}>0) 连边((S,i,a_i-a_{i-1},0)),否则连边((i,T,a_{i-1}-a_{i},0)).((i in[1,n+1],a_0=a_{n+1}=0))

  3. 对于每个区间([l_j,r_j]),连边((l_j,r_j+1,+infin,c_i)) (对应方程中的(x))

  4. 对于(i in [1,n]) 连边([i+1,i, +infty,0]) (对应方程中的(y))

代码

第一种建图:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 50000
#define maxm 500000
using namespace std;
inline void qread(int &x){
    x=0;
    int sign=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') sign=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    x=x*sign;
}

int n,m;
struct edge {
    int from;
    int to;
    int next;
    int flow;
    int cost;
} E[maxm*2+5];
int sz=1;
int head[maxn+5];
int pre[maxn+5];
int minf[maxn+5];
int dist[maxn+5];
int inq[maxn+5];
void adde(int u,int v,int w,int c) {
    sz++;
    E[sz].from=u;
    E[sz].to=v;
    E[sz].flow=w;
    E[sz].cost=c;
    E[sz].next=head[u];
    head[u]=sz;
}
void add_edge(int u,int v,int w,int c){
//  printf("%d->%d vol=%d cost=%d
",u,v,w,c);
    adde(u,v,w,c);
    adde(v,u,0,-c);
}

int spfa(int s,int t){
    queue<int>q;
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    memset(inq,0,sizeof(q));
    q.push(s);
    dist[s]=0;
    inq[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        inq[x]=0;
        for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
            int y=E[i].to;
            if(E[i].flow){
//              printf("%d %d
",x,y);
                if(dist[y]>dist[x]+E[i].cost){
                    dist[y]=dist[x]+E[i].cost;
                    minf[y]=min(minf[x],E[i].flow);
                    pre[y]=i;
                    if(!inq[y]){
                        inq[y]=1;
                        q.push(y);
                    }
                }
            }
        }
    }
    if(dist[t]==INF) return 0;
    else return 1;
}

void update(int s,int t){
    int x=t;
    while(x!=s){
        int i=pre[x];
        E[i].flow-=minf[t];
        E[i^1].flow+=minf[t];
        x=E[i^1].to;
    }
}

int mcmf(int s,int t){
    int maxcost=0,maxflow=0;
    memset(minf,0x3f,sizeof(minf));
    while(spfa(s,t)){
        update(s,t);
        maxcost+=minf[t]*dist[t];
        maxflow+=minf[t];
    }
    return maxcost;
}

int a[maxn+5];
int main(){
	int u,v,w;
	qread(n);
	qread(m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		qread(a[i]);		
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		qread(u);
		qread(v);
		qread(w);
		add_edge(u,v+1,INF,w); 
	}
	int s=0,t=n+2;
	add_edge(0,1,INF,0);
	add_edge(n+1,t,INF,0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		add_edge(i,i+1,INF-a[i],0);
	}
	printf("%d
",mcmf(s,t));
}

第二种建图:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 50000
#define maxm 500000
using namespace std;
inline void qread(int &x){
    x=0;
    int sign=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') sign=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    x=x*sign;
}

int n,m;
struct edge {
    int from;
    int to;
    int next;
    int flow;
    int cost;
} E[maxm*2+5];
int sz=1;
int head[maxn+5];
int pre[maxn+5];
int minf[maxn+5];
int dist[maxn+5];
int inq[maxn+5];
void adde(int u,int v,int w,int c) {
    sz++;
    E[sz].from=u;
    E[sz].to=v;
    E[sz].flow=w;
    E[sz].cost=c;
    E[sz].next=head[u];
    head[u]=sz;
}
void add_edge(int u,int v,int w,int c){
//	printf("%d->%d vol=%d cost=%d
",u,v,w,c);
	adde(u,v,w,c);
	adde(v,u,0,-c);
}

int spfa(int s,int t){
    queue<int>q;
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    memset(inq,0,sizeof(q));
    q.push(s);
    dist[s]=0;
    inq[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        inq[x]=0;
        for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
            int y=E[i].to;
            if(E[i].flow){
//            	printf("%d %d
",x,y);
                if(dist[y]>dist[x]+E[i].cost){
                    dist[y]=dist[x]+E[i].cost;
                    minf[y]=min(minf[x],E[i].flow);
                    pre[y]=i;
                    if(!inq[y]){
                        inq[y]=1;
                        q.push(y);
                    }
                }
            }
        }
    }
    if(dist[t]==INF) return 0;
    else return 1;
}

void update(int s,int t){
    int x=t;
    while(x!=s){
        int i=pre[x];
        E[i].flow-=minf[t];
        E[i^1].flow+=minf[t];
        x=E[i^1].to;
    }
}

int mcmf(int s,int t){
	int maxcost=0,maxflow=0;
	memset(minf,0x3f,sizeof(minf));
	while(spfa(s,t)){
		update(s,t);
		maxcost+=minf[t]*dist[t];
		maxflow+=minf[t];
	}
	return maxcost;
}

int a[maxn+5];
int main(){
	int u,v,w;
	qread(n);
	qread(m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		qread(a[i]);		
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		qread(u);
		qread(v);
		qread(w);
		add_edge(u,v+1,INF,w); 
	}
	int s=0,t=n+2;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		int c=a[i]-a[i-1];
		if(c>=0){
			add_edge(s,i,c,0);
		}else{
			add_edge(i,t,-c,0);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) add_edge(i+1,i,INF,0);
	printf("%d
",mcmf(s,t));
}
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